Глава 2. Уравнения второго порядка

§ 2.1. Основные алгебраические тождества

45 59 В представленной ниже таблице сформулированы

основные свойства операций сложения и умножения веще-

ственных чисел.

При решении уравнений и неравенств трудно избежать тождественных преобразований. Смысл тождественного преобразования состоит в замене одного выражения другим, тождественным исходному. Выражение тождественно исходному, если при любом наборе значений входящих в него переменных оно принимает то же значение, что и исходное. Основные алгебраические тождества выводятся непо-

средственно из представленных выше свойств операций сложения и умножения. Как вы, наверно, заметили, первые 4 свойства для сложения и умножения чем-то похожи. В математике множество, элементы которого относительно какойлибо операции обладают свойствами (1–4), называют коммутативной группой. Множествам такого рода посвящен целый раздел математики, который называют теорией групп. Таким образом, вещественные числа образуют коммутативную группу относительно операций сложения и умножения. Пятое свойство устанавливает связь между операциями. Наличие противоположных и обратных чисел позволяет ввести еще две операции, без которых в принципе можно обойтись, но с которыми удобней: вычитание (как прибавление противоположного числа) и деление (как умножение на обратное). Теперь для вывода любого из приведенных ниже основных алгебраических тождеств достаточно раскрыть скобки и привести подобные члены:

1)( + )2 = 2 + 2 + 2 ;

2)( − )2 = 2 − 2 + 2;

3)( + )3 = 3 + 3 2 + 3 2 + 3;

4)( − )3 = 3 − 3 2 + 3 2 − 3;

5)2 − 2 = ( + ) · ( − );

6)3 + 3 = ( + ) · ( 2 − + 2);

7)3 − 3 = ( − ) · ( 2 + + 2);

8)+ = ( + ) ·( −1 − −2 + −3 2 + . . . − −2 + −1)

(для нечетных !!!);

9)− = ( − ) ·( −1 + −2 + −3 2 + . . .+ −2 + −1);

10)иногда полезно знать:

( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 , т. е. квадрат суммы чисел равен сумме их квадратов и сум-

ме всех возможных их попарных удвоенных произведений; формулировка справедлива и для первого в нашем списке тождества, касающегося квадрата суммы двух чисел.

Последние тождества также легко проверить, раскрыв скобки и приведя подобные. Например,

( − ) · ( −1 + −2 + −3 2 + . . . + −2 + −1) =

=+ −1 + −2 2 + . . . + 2 −2 + −1−

−−1 − −2 2 − −3 2 − . . . − −1 − = − .

Теперь о выражении ( + ) , которое называют биномом Ньютона. Здесь – неотрицательное целое число. Случаи= 2 и = 3 представлены выше, ( + )0 = 1, ( + )1 = + . Если раскрыть скобки, бином примет вид

В первом слагаемом правой части равенства бинома присутствует -я степень и нулевая степень , а затем в каждом следующем слагаемом степень на единицу уменьшается, а

степень на единицу увеличивается. Таким образом, сумма степеней и всегда остается равной . При каждом произведении степеней и присутствует коэффициент, который обозначен , где – степень бинома, – номер коэффициента, начиная с нулевого. Найти биномиальные коэффициенты для любой степени бинома нетрудно, если воспользоваться треугольником Паскаля:

Здесь крайние коэффициенты бинома любой степени всегда равны единице, а каждый из остальных получается сложением двух вышестоящих. Последнее нетрудно доказать. Действительно,

= 0 +1 +( 0 + 1) +( 1 + 2) −1 2 +. . .+ +1,