Задачи к параграфу на с. 188, п. 1.

§ 1.3. Системы двух уравнений

20 35 Такую систему можно записать в виде

1 + 1 = 1;

(1)

2 + 2 = 2.

Здесь возможны следующие варианты:

1) Если 1 = 1 = 1 , система имеет бесконечное множество

2 2 2

решений. В таком случае обоим уравнениям соответствует одна прямая на плоскости (рис. 4а). Это значит, одно уравнение можно получить из другого, умножив его на некоторое вещественное число:

2 − 3 = 7;

4 − 6 = 14.

2) Система не имеет решений, если 1 = 1 ̸= 1 . Уравнениям

2 2 2

соответствуют две параллельные прямые (рис. 4б):

2 − 3 = 7;

4 − 6 = 6.

кой системе соответствуют две пересекающиеся прямые на плоскости (рис. 4в). Поскольку две непараллельные прямые имеют на плоскости одну точку пересечения, решение здесь существует и единственно.

В школьном курсе математики обычно рассматривают два

Рис. 4. Прямые на плоскости

метода решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными: «подстановка» и «вычитание». Решим систему (1) вторым из перечисленных методов. Пока будем считать, что все коэффициенты системы ненулевые. Умножим левую и правую части первого уравнения на 2, а левую и правую части второго – на 1:

1 2 + 1 2 = 1 2;

2 1 + 1 2 = 2 1.

Таким образом, коэффициенты при в обоих уравнениях стали одинаковыми. Теперь из левой части первого уравне-

ния вычтем левую часть второго, а из правой части первого – правую часть второго. Получим линейное уравнение

( 1 2 − 2 1) · = 1 2 − 2 1. В дальнейшем в таком случае будем для краткости говорить о вычитании из одного уравнения другого. Аналогично сделаем одинаковыми коэффициенты при :

1 2 + 1 2 = 1 2;

1 2 + 2 1 = 2 1.

Вычитая из второго уравнения первое, получим уравнение

( 1 2− 2 1) = 2 1− 1 2. Теперь можем записать равенства

которые, однако, имеют смысл только при отличных от нуля знаменателях дробей: 1 2 − 2 1 ̸= 0 1 2 ̸= 2 1 или

1 ̸= 1 . Мы вернулись к хорошо известному нам условию

2 2

(см. рис. 4в). Если оно выполнено, остается найти единственное решение ( ; ). Только как запомнить формулы (2)? Для этого введем понятие «определитель»:

Текст « » над знаком равенства означает «равно по определению». Таблица, ограниченная двумя вертикальными отрезками в левой части равенства, называется определителем второго порядка, или просто определителем. Впервые понятие «определитель» для решения систем линейных уравнений ввел Лейбниц, но эти работы не были им опубликованы. В 1748 г. в одном из своих трактатов Маклорен фактически использовал определители для решения систем двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными.

Составим определитель из коэффициентов левой части системы уравнений (1) на с. 28. В дальнейшем будем называть его главным определителем системы и обозначать:

= 1 1 = 1 2 − 2 1.

2 2

Для обозначения определителя мы использовали греческую букву «дельта». Именно от этой буквы когда-то произошли

илатинская «D», и русская «Д», и даже «дельта реки». Теперь запишем еще два определителя – и («дельта »

и«дельта »):

Первый получается из главного путем замены столбца коэффициентов при на столбец свободных членов, второй – заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов. Теперь выражения (2) можно записать в виде

= .

Новая символика избавила нас от необходимости помнить сложную формулу и записывать длинную цепочку преобразований. Для закрепления навыка стоит прорешать несколько систем. Тогда решать эту задачу по-другому вам не захочется. Метод обладает еще одним замечательным свойством

– прозрачностью. Здесь трудно сделать такую ошибку, которую нельзя было бы сразу найти.

188 Пример 1. Решить систему уравнений

2 − 3 = 4;

3 + = 1.

Решение. Найдем определитель:

2 −3

= = 2 · 1 − 3 · (−3) = 11 ̸= 0.

3 1

Откуда из равенств (3) следует

Ответ:

= 117 ;

= −1011 .

2 − 3 = 4;

4 − 6 = 8.

Решение. Найдем главный определитель:

Система либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений. В нашем случае 24 = −−36 = 48 . Значит, уравнения эквивалентны и решение – бесконечное множе-

ство пар вещественных чисел.

Ответ: {( , )|2 − 3 = 4; , }.

2 − 3 = 4;

4 − 6 = 7.

Система либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений. В нашем случае 24 = −−36 ̸= 47 .

Ответ: система не имеет решения.

189 Пример 4. Решить систему уравнений с параметром

2 + = + 2;

( + 1) + 2 = 2 + 4.

Решение: