§ 3.5. Формула Кардано

132 161 Несмотря на последние достижения в области кораблестроения и судовождения, в хорошем мореходном училище курсантов обязательно учат ходить под парусом, поскольку только так они смогут почувствовать море. Вот и нам формулы Кардано и Феррари помогут «почувствовать» алгебраические уравнения. Формула Кардано служит для нахождения корней многочленов третьей степени. Согласно теории (с. 135), такой многочлен имеет три комплексных корня. При этом, как показано на рис. 21 (с. 126), у много-

150 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

члена с вещественными коэффициентами может быть один вещественный (рис. 21а и 21д) или же три вещественных корня. Если все корни вещественные, возможны случаи: все корни простые (рис. 21в), существует корень второй (рис. 21б и 21г) или третьей (рис. 21е) кратности. Пусть дано уравнение, в левой части которого находится многочлен третьей степени с вещественными коэффициентами,

3 + 2 + + = 0.

Путем подстановки = −3 перейдем к уравнению с неполным многочленом в левой части 3 + + = 0. Теперь сделаем еще одну подстановку = − 3 , в результате которой получим:

Последнее уравнение является квадратным относительно 3.

I. В случае положительного дискриминанта его решения:

вещественное и два комплексно-сопряженных. Эти решения

√

получаются как произведения 3 на корни из единицы, т. е. на решения уравнения 3 = 1 (рис. 29 на с. 146):

Мы перешли к переменной путем подстановки = − 3 . Возьмем вещественное значение 1:

В последнем нетрудно убедиться, проделав соответствующие операции с комплексными числами (с. 136). Тогда

152 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Многочлен имеет три вещественных корня: один простой и два кратных. Если же уравнение имеет корень третьей кратности, после первой подстановки неполный многочлен примет вид 3 = 0. Это означает, что 1 = 2 = 3 = 3 .

154 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Поскольку 1 и 2 при любом – комплексно-сопряженные

величины, 1 + 2 = 2√3 cos +2 и неполное кубическое

3

уравнение будет иметь вещественные решения:

1)при > 0 уравнение имеет один вещественный и два комплексно-сопряженных корня;

2)при = 0 – три вещественных корня: один простой и два кратных;

3)при < 0 – три простых вещественных корня.

203 Пример 1. Найти корни многочлена 3 − 3 2 − 3 − 4.

Решение. Выполнив подстановку = + 1, получим мно-

гочлен 3 − 6 − 9. Найдем

Поскольку > 0, воспользуемся алгоритмом I (с. 150).

Вернемся к переменной = + 1.

√√

Ответ: 1 = 4, 2 = −12 − · 23 , 3 = −12 + · 23 .

Эту задачу можно решить иначе, заметив, что 4 является корнем, и разделив многочлен на ( − 4) (с. 114):

3 − 3 2 − 3 − 4 = ( − 4)( 2 + + 1),

Остается только найти корни квадратного трехчлена.

Пример 2. Найти корни многочлена 3 + 2 − 3. 203

Решение. Многочлен неполный, и мы сразу определим

= 94 + 278 = 4825·81 > 0. Найдем

Из теории мы знаем, что при > 0 многочлен должен иметь один вещественный корень и два комплексно-сопряженных.

156 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Вещественный корень = 1 «виден невооруженным гла-

зом». Но у нас он равен

что мало напоминает единицу. Тем не менее никакой ошибки

здесь нет: просто на этот раз мы наткнулись на «подводный

камень». Дело в том, что

Действительно, умножим числитель и знаменатель дроби

под знаком кубического корня на такое число, чтобы ку-

бический корень из знаменателя стал целым числом; после

соответствующей группировки выражение в числителе ока-

жется полным кубом:

Аналогично поступим и для 2. Это не всегда приводит к результату, зато трудно найти лучший тренажер для тренировки интуиции. Если выражения для 1 и 2 не удалось упростить, можно с тем же успехом использовать и изначально полученные громоздкие выражения. В таком случае ваше выражение может не совпадать с выражением в ответе. Возможно, наш совет не всем понравится, но мы предлагаем тогда вычислить на компьюторе и сравнить значения ваших выражений со значениями выражений в ответе. В любом случае это даст информацию для размышлений. Таким образом,

Как и в предыдущем примере, найдем комплексные корни:

Осталось раскрыть скобки и привести подобные.

√√

Ответ: 1 = 1, 2 = −12 + 211 , −12 − 211 .