Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Алгебраические_уравнения.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
16.10.2020
Размер:
1.79 Mб
Скачать

§ 3.5. Формула Кардано

149

части функции ( ). На графике видны точки пересечения

 

нулевых линий. Это точки (−1; 0), (0; 1) и (0; −1). Посколь-

 

ку уже известен один действительный корень = −1, мы

 

можем разделить многочлен 3 + 2 + + 1 на линейный

 

член ( + 1) и найти два комплексных корня полученного

 

квадратного трехчлена 2 + 1. Таким образом, мы подтвер-

 

дили расчетом обнаруженные на рис. 30в корни многочлена

 

3 + 2 + + 1. Это числа (−1), и − .

 

Вы познакомились с комплексными числами. Функции ком-

 

плексного переменного нашли широкое применение в гид-

 

ромеханике, аэродинамике, электротехнике, теории поля и

 

других областях науки и техники.

 

Задачи к параграфу на с. 200, п. 29–35.

 

§ 3.5. Формула Кардано

132 161 Несмотря на последние достижения в области кораблестроения и судовождения, в хорошем мореходном училище курсантов обязательно учат ходить под парусом, поскольку только так они смогут почувствовать море. Вот и нам формулы Кардано и Феррари помогут «почувствовать» алгебраические уравнения. Формула Кардано служит для нахождения корней многочленов третьей степени. Согласно теории (с. 135), такой многочлен имеет три комплексных корня. При этом, как показано на рис. 21 (с. 126), у много-

150 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

члена с вещественными коэффициентами может быть один вещественный (рис. 21а и 21д) или же три вещественных корня. Если все корни вещественные, возможны случаи: все корни простые (рис. 21в), существует корень второй (рис. 21б и 21г) или третьей (рис. 21е) кратности. Пусть дано уравнение, в левой части которого находится многочлен третьей степени с вещественными коэффициентами,

3 + 2 + + = 0.

Путем подстановки = −3 перейдем к уравнению с неполным многочленом в левой части 3 + + = 0. Теперь сделаем еще одну подстановку = − 3 , в результате которой получим:

 

3

3

3

 

+ = 0 6 + 3

 

= 0.

27 3

27

Последнее уравнение является квадратным относительно 3.

I. В случае положительного дискриминанта его решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

13,2 = −

 

± ,

где = (

 

)

+

(

 

)

.

2

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда 13

 

 

 

2 = −

,

где > 0.

= −2 + ,

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

= , где > 0, - имеет три решения: одно

вещественное и два комплексно-сопряженных. Эти решения

§ 3.5. Формула Кардано

151

получаются как произведения 3 на корни из единицы, т. е. на решения уравнения 3 = 1 (рис. 29 на с. 146):

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ;

3 · = 3

(

 

+

3

)

и

3 · 2

= 3

(

 

 

3

).

2

2

2

2

Мы перешли к переменной путем подстановки = − 3 . Возьмем вещественное значение 1:

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+ 27

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +

4

+ 27

 

 

(

2 ) − 4

 

27

 

3 1

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

= 3

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 3

= 2.

 

 

 

 

4

+ 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

= 1

 

 

 

 

 

= 1 + 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

= ( )

2

 

 

 

 

2 = −

 

 

 

 

= 2

2

 

 

 

( )3 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

( 1)2 =

2

= −3 1

2 = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В последнем нетрудно убедиться, проделав соответствующие операции с комплексными числами (с. 136). Тогда

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

=

 

 

 

+

 

2

+

3

 

 

 

2

=

 

 

 

 

2

 

 

3

 

( )2;

2

4

27 ·

 

2

 

4

27 ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

152 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

1 = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

+

3

 

 

 

 

( )2

 

 

 

 

2 =

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

.

2

4

 

 

 

 

 

 

2

4 27 ·

 

 

 

 

 

 

27 ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многочлен 2

+ + имеет корни:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

 

+

 

 

3

 

+

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

27

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 =

 

 

 

+

2

 

+

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

2;

 

 

 

 

4

 

 

 

27 ·

2

 

 

4

27 ·

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

2

 

+

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

27 ·

2 4

27 ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь нетрудно найти корни исходного многочлена:

 

 

1 = 1 3 , 2 = 2 3 и 3 = 3 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Рассмотрим случай = (

2 )2 + (3 )3 = 0. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 2 ·

3

 

 

 

; 2,3 =

3

 

 

 

( + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, поскольку + 2 = −1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 2 · 3

 

 

; 2,3

= −3

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многочлен имеет три вещественных корня: один простой и два кратных. Если же уравнение имеет корень третьей кратности, после первой подстановки неполный многочлен примет вид 3 = 0. Это означает, что 1 = 2 = 3 = 3 .

§ 3.5. Формула Кардано

153

III. Осталось рассмотреть случай < 0. Тогда квадратное

относительно 3 уравнение

6 + 3 3 = 0 имеет решения:

27

13,2

= −2 ± ·

( 4

+ 27)

= −2 ± · − .

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

Запишем их в тригонометрической форме:

= | 13,2|=

 

 

 

 

 

27

,

(2)

 

− =

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

cos = − /2 ;sin = − .

Неравенство < 0 выполняется только при < 0. Поэтому в выражении под корнем будет неотрицательное число.

Таким образом,

13 = (cos + · sin ) и 23 = (cos − · sin ).

По формуле Муавра, уравнения имеют решения:

1 = 3

 

(cos

+ 2

 

+ · sin

+ 2

)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 = 3

 

(cos

+ 2

− · sin

+ 2

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где = 0; 1; 2,

3 =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

154 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

 

 

 

=

 

3

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

+2

3

 

 

 

 

+2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

sin )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

cos

 

 

3

 

+ · sin

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33 (

 

+2

 

 

 

+2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

 

3

+ sin2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+2

 

 

 

 

+2

 

 

3

 

 

 

 

 

+ 2

 

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (cos

 

 

 

 

 

− · sin

 

 

 

 

 

) = 2

 

1 = 1 + 2.

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Поскольку 1 и 2 при любом – комплексно-сопряженные

величины, 1 + 2 = 23 cos +2 и неполное кубическое

3

уравнение будет иметь вещественные решения:

1 = 23

 

cos

 

,

2 = 23

 

cos

+ 2

и

23

 

cos

+ 4

.

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Корни исходного многочлена = − 3 .

 

 

 

 

 

Таким образом, если = (

2 )2 + (3 )3:

 

 

 

 

 

 

1)при > 0 уравнение имеет один вещественный и два комплексно-сопряженных корня;

2)при = 0 – три вещественных корня: один простой и два кратных;

3)при < 0 – три простых вещественных корня.

203 Пример 1. Найти корни многочлена 3 − 3 2 − 3 − 4.

Решение. Выполнив подстановку = + 1, получим мно-

гочлен 3 − 6 − 9. Найдем

 

6

 

3

 

9

2

 

49

= (

 

)

 

+ (

 

)

 

=

 

.

3

 

2

 

4

§ 3.5. Формула Кардано

155

Поскольку > 0, воспользуемся алгоритмом I (с. 150).

1 = 3

 

 

= 1; 2 = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2 +

2 = 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 1 + 2 = 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (

1

3

 

)+2

(

1

 

 

 

) =

(

3

3

);

2 = 1 + 2 2

 

 

+

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

2

 

 

2

2

 

 

2

2

 

3 = 1 2+ 2 = (

 

 

 

 

 

)+2

(

 

 

 

 

 

) =

(

 

 

 

).

1

 

3

1

3

3

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

3

2

 

2

2

2

2

2

Вернемся к переменной = + 1.

Ответ: 1 = 4, 2 = −12 − · 23 , 3 = −12 + · 23 .

Эту задачу можно решить иначе, заметив, что 4 является корнем, и разделив многочлен на ( − 4) (с. 114):

3 − 3 2 − 3 − 4 = ( − 4)( 2 + + 1),

Остается только найти корни квадратного трехчлена.

Пример 2. Найти корни многочлена 3 + 2 − 3. 203

Решение. Многочлен неполный, и мы сразу определим

= 94 + 278 = 4825·81 > 0. Найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

=

2

 

=

,

2

=

 

 

 

+ 18

 

18

27

18 .

 

 

 

 

3

 

825

 

27 + 5

33

 

 

 

 

5 33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из теории мы знаем, что при > 0 многочлен должен иметь один вещественный корень и два комплексно-сопряженных.

156 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Вещественный корень = 1 «виден невооруженным гла-

зом». Но у нас он равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

+

 

 

,

1 + 2 =

27 +18

 

27

18

 

 

5

33

 

 

 

5

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что мало напоминает единицу. Тем не менее никакой ошибки

здесь нет: просто на этот раз мы наткнулись на «подводный

камень». Дело в том, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

, a

3

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

27 +18

 

 

6

 

27

18

3

6 .

 

 

5 33

3 +

 

33

 

 

5

33

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, умножим числитель и знаменатель дроби

под знаком кубического корня на такое число, чтобы ку-

бический корень из знаменателя стал целым числом; после

соответствующей группировки выражение в числителе ока-

жется полным кубом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

216

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27 +18

=

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

33

 

 

324 + 60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

·

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

=

 

 

 

 

 

= 27 + 3 · 9 33

3

33 + 33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3 +

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 +

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

6

 

)

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3.5. Формула Кардано

157

Аналогично поступим и для 2. Это не всегда приводит к результату, зато трудно найти лучший тренажер для тренировки интуиции. Если выражения для 1 и 2 не удалось упростить, можно с тем же успехом использовать и изначально полученные громоздкие выражения. В таком случае ваше выражение может не совпадать с выражением в ответе. Возможно, наш совет не всем понравится, но мы предлагаем тогда вычислить на компьюторе и сравнить значения ваших выражений со значениями выражений в ответе. В любом случае это даст информацию для размышлений. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

1 = 1 + 2 =

3 + 33

+

3 − 33

= 1.

 

6

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

Как и в предыдущем примере, найдем комплексные корни:

2 = 1 + 2 2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

6

 

 

(

2

+ 2

 

) +

 

 

6

 

 

(2

2

 

)

;

 

 

 

 

 

3

33

 

3 +

33

 

 

1

 

 

 

3

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 = 1 2 + 2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

3 + 33

(

 

 

3

)

 

+

3 − 33

(

 

 

+

3

).

6

2

2

 

6

2

2

Осталось раскрыть скобки и привести подобные.

Ответ: 1 = 1, 2 = −12 + 211 , −12 211 .

 

 

 

158

ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

 

 

 

Пример 3.

Найти корни многочлена 3

+ 2 − 16 + 20.

203

 

 

 

 

Решение. Введем замену переменной = − 31 , раскроем

 

 

 

скобки и приведем подобные. В результате получим много-

 

 

 

член 3 493 + 68627 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

342

 

2

49

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем = (

 

 

)

+

(

 

 

 

)

 

= (

 

 

 

)

 

(

 

)

 

= 0.

 

 

 

2

3

 

27

 

9

 

 

 

 

Поскольку = 0, обратимся к алгоритму II (с. 152).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13 = 23 = −

 

= −

(

 

 

 

)

1 = 2 = − (

 

 

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 = (

 

+

 

 

 

 

) + (

 

 

) = −1.

 

 

 

2

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

( + 2) =

7

 

 

 

 

1 = 1 + 2 = −

 

; 2 = 3 = −

 

 

 

 

.

 

 

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1 = 1

 

=

−5; 2 = 3 = 2

 

 

= 2.

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

Ответ: 1 = −5; 2

 

= 3 = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

203

 

Пример 4.

Найти корни многочлена 3

− 6 2 − 3 + 26.

 

 

 

Решение. Подстановка = +2 даст многочлен 3−15 +4:

 

 

 

= 4 − 125 = −121,

13,2 = −2 ± · 11.

 

 

 

 

 

 

Теперь мы можем действовать в соответствии с алгоритмом III (с. 153) или идти своим тернистым путем.

Первый способ. Приведем правую часть последнего ра-

§ 3.5. Формула Кардано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

159

венства к тригонометрической форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2 ± · 11 = (cos + · sin ), где

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 + 121 =

125,

= (

2

 

). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 =

 

 

(cos

+ 2

+

 

 

 

cos

+ 2

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 =

 

 

(cos

+ 2

 

 

cos

+ 2

)

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2

 

 

 

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 2

5 cos

 

 

, 2 = 2

 

 

 

5 cos

 

 

 

 

 

 

, 3 = 2

5 cos

 

 

 

,

3

3

 

 

 

 

3

 

где = 0, 1, 2. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≈ 5, 732;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 1 + 2 = 2

 

5 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2

 

−2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 = 2 + 2 = 2 5 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4

≈ 2, 268,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

= 3 + 2

5 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где = (−√

2

 

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй способ:

13 = −2 + · 11 = −8 + 12 + 6 − = (−2 + )3 1 = −2 + .

Здесь снова сработала «угадайка», и такие комбинации проходят только с целыми числами. В общем случае корни

160 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

уравнения не выражаются через его коэффициенты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями. Аналогично 2 = −2 − и, таким образом,

1 = 1 + 2 = −4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 = 1 + 2 2 = 1 (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

1

 

3

 

 

 

 

)+ 2 (

 

 

) = 2−3;

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

3

3 = 1 2 + 2 = 1 (

 

 

 

 

)+ 2 (

 

) = 2+3.

 

 

3

 

 

+

 

 

 

 

 

2

2

2

2

 

 

 

 

Значит, 1 = 1 + 2 = −2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 = 1 + 2 = 4 −

3 ≈ 2, 268;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

= 3 + 2 = 4 +

3 ≈ 5, 732.

Оба способа решения задачи дают один ответ. Разумеется,

нумерация корней не обязана совпадать. По форме ответ во

втором случае выглядит иначе, и не всегда просто доказать

тождественность соответствующих выражений. Если приве-

денный в конце книги ответ к задаче не совпадает с вашим,

полезно найти численные значения результатов с некоторой

точностью. Если они не совпадают – кто-то из нас ошибся.

Ответ: 1 = −2,

 

 

 

2 = 4 −

3, 3 = 4 + 3.

В инженерных приложениях часто представляет интерес значение корня только с точностью до заданного количества знаков после запятой. В таком случае гораздо эффективней работают численные методы, с которыми мы обязательно