Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Алгебраические_уравнения.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
16.10.2020
Размер:
1.79 Mб
Скачать

84

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

угол. Хотя теория уравнений и, соответственно, кривых второго порядка доступна человеку, владеющему математикой в рамках школьной программы, ее изучение требует времени и определенных усилий. Мы же пока запомним одно полезное наблюдение. Кривая второго порядка не может иметь более двух общих точек с прямой. Для доказательства достаточно в уравнении прямой выразить одну из переменных или и подставить в уравнение (5).

§ 2.4. Симметричные формы

80 94

Выражение ( , ) называют симметричной

формой, если

( , ) ≡ ( , ),

т.е. форма, полученная при перестановке переменных и

тождественна исходной. Аналогично для любого числа переменных выражение называют симметричной формой, если после любой перестановки любой пары переменных мы приходим к форме, тождественной исходной. Примеры симметричных форм: + ; ; 2 + 2. В § 2.2, когда применяли теорему Виета, мы столкнулись с системами уравнений, содержащими две симметричные формы:

1 + 2 = − ;

1 2 = .

§ 2.4. Симметричные формы

85

Эти уравнения устанавливают связь корней квадратного трехчлена 2 + + с его коэффициентами и иногда помогают нам сразу угадать корни. Теперь мы, наоборот, используем квадратный трехчлен для решения системы уравнений

+ = ;

 

= .

 

 

 

При решении таких систем часто в первом уравнении вы-

 

ражают одну переменную через другую, делают подстанов-

 

ку во второе уравнение и получают квадратное уравнение,

 

которое теперь надо решить. Сколько лишних шагов! Мы

 

можем сразу заметить, что, согласно теореме Виета, и

 

должны быть корнями уравнения 2 − + = 0.

 

Пример 1. Решить систему уравнений

193

+ = 7;

= 2.

Решение: и – корни уравнения 2 − 7 + 2 = 0. Найдем

= 49 − 8 = 41 > 0. Уравнение имеет два вещественных

корня

 

 

 

 

 

 

 

1,2 =

7 ± 41

.

 

2

 

 

 

86

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ответ: система уравнений имеет два решения:

=

=

 

 

и

 

7

 

 

7+41

41

7−

41

 

= 7+ 41

2

 

 

 

=

 

2

2

 

 

 

 

 

2

 

 

193 Пример 2. Решить систему уравнений

+ = −2;

= 7.

Решение: и – корни уравнения 2 + 2 + 7 = 0. Найдем

= 4 − 28 = −24 < 0. Множество решений – .

Ответ: система уравнений не имеет решения.

Теперь попробуйте решить те же задачи методом подстановки.

193 Пример 3. Решить систему уравнений

+ = −5;

= 6.

Решение. По теореме Виета, такой системе соответствует квадратное уравнение, два вещественных корня которого нетрудно угадать, – это (−2) и (−3).

Ответ: система уравнений имеет два решения: (−2; −3) и (−3; −2).

Теперь усложним задачу.

§ 2.4. Симметричные формы

87

 

Пример 4. Решить систему уравнений

 

 

 

 

 

193

2 − 3 = −5;

= 6.

Решение. Умножив левую и правую части второго уравнения на (−3) и 2, мы придем к системе уравнений, левые части которых симметричные формы относительно (2 ) и (−3 ), а значит, (2 ) и (−3 ) являются корнями уравнения

2 + 5 − 36.

(2 ) + (−3 ) = −5;

(2 ) · (−3 ) = −36.

Найдем = 25 − 4 · (−36) = 169, тогда

1,2 = −5 ± 13 1 = −9 и 2 = 4. 2

Это и есть два решения относительно величин (2 ) и (−3 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

2 = −9

 

= −29

 

 

3 = 4

 

=

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

2 = 4

 

 

= 2

 

3 =

9

= 3

 

 

 

 

 

Ответ: (−92 ; −43 ) и (2; 3).

88

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Теперь рассмотрим случай, когда решение системы методом подстановки невозможно или затруднительно.

194 Пример 5. Решить систему уравнений

 

 

 

 

2

+

 

+2

= 11;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

= 30.

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ + = 11;

Положим,

= +

+ = 11

 

·

( + ) = 30.

 

 

 

 

 

=

= 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение 2 − 11 + 30 имеет два решения: 5 и 6.

1)

= 5

 

+ = 5

 

1.1)

= 2

1.2)

= 3

 

= 6

= 6

 

 

= 3

 

= 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

= 6

 

+ = 6

 

2.1)

= 1

2.2)

= 5

 

= 5

= 5

 

 

= 5

 

= 1

 

 

,

,

(1; 5)

и

 

.

 

 

 

Ответ: (2; 3)

(3; 2)

 

(5; 1)

 

 

 

194 Пример 6. Решить систему уравнений

+ + = 7;

2 + 2 + = 13.

§ 2.4. Симметричные формы

 

 

 

 

89

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

2

 

 

Положим,

 

 

 

+ = 7;

 

 

 

= + ;

( + )

 

= 13.

 

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 7

 

 

= 7

 

 

Тогда 2+ = 13

 

2 +

20 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратное

уравнение 2 +

20 = 0 имеет два решения,

 

 

 

 

 

 

 

 

которые легко угадать, опираясь на теорему Виета: 1 = −5

и 2 = 4.

1)

= −5

 

 

 

= −5

 

 

+ = −5

 

= 7

 

 

 

 

= 12

 

 

= 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ 5 − 12 = 0.

Соответствующее квадратное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−5 ±

 

 

 

 

 

 

 

 

= 25 + 48 = 73;

 

=

 

 

73

 

 

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −5− 73

 

 

 

= −5+ 73

 

 

 

=

2

 

 

 

 

 

=

− −2

 

 

 

 

 

 

1.1)

 

 

 

2

 

 

 

1.2)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

5+

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

73

 

73

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) = 4

 

 

 

= 4

 

 

+ = 4

 

= 7

 

= 3

 

 

= 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Соответствующее квадратное уравнение 2 − 4 + 3 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

= 3

 

2.1) = 3

 

2.2) = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: (−5− 73

; −5+ 73 ), (−5+

73 ; −5− 73 ), (1; 3) и (3; 1).

2

 

2

 

 

2

2

 

 

Ранее мы отметили, что прямая и кривая второго порядка не могут иметь больше двух общих точек (рис. 18а). Аналогично две кривые второго порядка не могут иметь более четырех общих точек (рис. 18б).

Рис. 18. Кривые второго порядка

194 Пример 7. Решить систему уравнений

2 + 2 = 52;

= 24.

Решение. Первому уравнению соответствует окружность

радиуса 52 с центром в начале координат, второму – гипербола. Как мы видим на графике (см. рис. 18б), кривые

§ 2.4. Симметричные формы

91

имеют четыре точки пересечения. Убедимся в этом, решив систему аналитически:

 

 

 

 

 

 

2 + 2 = 52

( + )2

2 = 52

= 24

= 24

 

 

( + )2

 

 

+ = ±10

 

= 100

 

= 24

 

= 24

Последний

результат можно записать и так:

 

 

 

 

 

 

 

+ = +10;

 

 

 

= 24.

10;

 

 

 

+ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 24.

Напомним, что между утверждениями, охваченными квадратной скобкой, подразумевается «логическое ИЛИ». Таким образом, решением исходной системы уравнений будет объединение решений двух систем, заключенных в квадратную скобку. Составим для обеих систем соответствующие квадратные уравнения:

1) 2 + 10 + 24 = 0 1,2 = −5 ± 1

92

 

 

 

 

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

 

 

 

 

1.1)

= −6

1.2)

= −4

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4

 

 

=

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

2

 

 

10 + 24 = 0

 

 

= 5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1) = 6

2.2)

= 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 4

 

 

= 6

 

 

 

(

6;

4), (

 

4;

6), (6; 4), (4; 6)

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

− −

 

 

 

.

 

 

 

 

При решении систем трех уравнений с тремя неизвестными, входящими в симметричные формы, иногда приходит на помощь теорема Виета. Для случая многочлена третьей степени она звучит так: если многочлен

3 + 2 + +

имеет три вещественных корня 1, 2, 3, для его коэффициентов справедливы равенства

= −( 1 + 2 + 3);

= 1 2 + 1 3 + 2 3;

= − 1 2 3.

Чтобы убедиться в последнем, достаточно раскрыть скобки в разложении многочлена на линейные множители и приве-

§ 2.4. Симметричные формы

93

сти подобные:

( − 1)( − 2)( − 3) = = 3 − ( 1 + 2 + 3) 2 + ( 1 2 + 1 3 + 2 3) − 1 2 3.

Пример 8. Решить систему уравнений

195

+ + = 6;

+ + = 11;

= 6.

Решение. По теореме Виета, неизвестные , , должны

быть корнями многочлена 3 − 6 2 + 11 − 6. Для нахождения корней многочлена угадаем один из корней = 1, разделим многочлен на ( − 1), и тогда задача сведется к нахождению корней квадратного трехчлена, как в примере

на с. 114. Многочлен имеет корни 1 = 1,

2 = 2,

3 = 3, и

решениями системы будут все тройки ( ; ; ), являющиеся

перестановками этих трех чисел.

 

 

 

 

Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2),

(2; 1; 3),

(2; 3; 1),

(3; 1; 2),

(3; 2; 1).

 

Пример 9. Решить систему уравнений

 

 

 

 

 

195

 

 

2+

+ = 6;

 

 

 

 

 

2

+

2

= 14;

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6.