угол. Хотя теория уравнений и, соответственно, кривых второго порядка доступна человеку, владеющему математикой в рамках школьной программы, ее изучение требует времени и определенных усилий. Мы же пока запомним одно полезное наблюдение. Кривая второго порядка не может иметь более двух общих точек с прямой. Для доказательства достаточно в уравнении прямой выразить одну из переменных или и подставить в уравнение (5).

§ 2.4. Симметричные формы

формой, если

( , ) ≡ ( , ),

т.е. форма, полученная при перестановке переменных и

тождественна исходной. Аналогично для любого числа переменных выражение называют симметричной формой, если после любой перестановки любой пары переменных мы приходим к форме, тождественной исходной. Примеры симметричных форм: + ; ; 2 + 2. В § 2.2, когда применяли теорему Виета, мы столкнулись с системами уравнений, содержащими две симметричные формы:

1 + 2 = − ;

1 2 = .

Эти уравнения устанавливают связь корней квадратного трехчлена 2 + + с его коэффициентами и иногда помогают нам сразу угадать корни. Теперь мы, наоборот, используем квадратный трехчлен для решения системы уравнений

+ = 7;

= 2.

Решение: и – корни уравнения 2 − 7 + 2 = 0. Найдем

= 49 − 8 = 41 > 0. Уравнение имеет два вещественных

2 − 3 = −5;

= 6.

Решение. Умножив левую и правую части второго уравнения на (−3) и 2, мы придем к системе уравнений, левые части которых симметричные формы относительно (2 ) и (−3 ), а значит, (2 ) и (−3 ) являются корнями уравнения

2 + 5 − 36.

(2 ) + (−3 ) = −5;

(2 ) · (−3 ) = −36.

Найдем = 25 − 4 · (−36) = 169, тогда

1,2 = −5 ± 13 1 = −9 и 2 = 4. 2

Это и есть два решения относительно величин (2 ) и (−3 ).

Ответ: (−92 ; −43 ) и (2; 3).

Теперь рассмотрим случай, когда решение системы методом подстановки невозможно или затруднительно.

194 Пример 5. Решить систему уравнений

Уравнение 2 − 11 + 30 имеет два решения: 5 и 6.

194 Пример 6. Решить систему уравнений

+ + = 7;

2 + 2 + = 13.

которые легко угадать, опираясь на теорему Виета: 1 = −5

и 2 = 4.

Соответствующее квадратное уравнение 2 − 4 + 3 = 0.

Ранее мы отметили, что прямая и кривая второго порядка не могут иметь больше двух общих точек (рис. 18а). Аналогично две кривые второго порядка не могут иметь более четырех общих точек (рис. 18б).

Рис. 18. Кривые второго порядка

194 Пример 7. Решить систему уравнений

2 + 2 = 52;

= 24.

Решение. Первому уравнению соответствует окружность

√

радиуса 52 с центром в начале координат, второму – гипербола. Как мы видим на графике (см. рис. 18б), кривые

имеют четыре точки пересечения. Убедимся в этом, решив систему аналитически:

= 24.

Напомним, что между утверждениями, охваченными квадратной скобкой, подразумевается «логическое ИЛИ». Таким образом, решением исходной системы уравнений будет объединение решений двух систем, заключенных в квадратную скобку. Составим для обеих систем соответствующие квадратные уравнения:

1) 2 + 10 + 24 = 0 1,2 = −5 ± 1

При решении систем трех уравнений с тремя неизвестными, входящими в симметричные формы, иногда приходит на помощь теорема Виета. Для случая многочлена третьей степени она звучит так: если многочлен

3 + 2 + +

имеет три вещественных корня 1, 2, 3, для его коэффициентов справедливы равенства

= −( 1 + 2 + 3);

= 1 2 + 1 3 + 2 3;

= − 1 2 3.

Чтобы убедиться в последнем, достаточно раскрыть скобки в разложении многочлена на линейные множители и приве-

сти подобные:

( − 1)( − 2)( − 3) = = 3 − ( 1 + 2 + 3) 2 + ( 1 2 + 1 3 + 2 3) − 1 2 3.

+ + = 6;

+ + = 11;

= 6.

Решение. По теореме Виета, неизвестные , , должны

быть корнями многочлена 3 − 6 2 + 11 − 6. Для нахождения корней многочлена угадаем один из корней = 1, разделим многочлен на ( − 1), и тогда задача сведется к нахождению корней квадратного трехчлена, как в примере

= 6.