Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Алгебраические_уравнения.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
16.10.2020
Размер:
1.79 Mб
Скачать

§ 1.5. Неравенства

45

Ответ: система не имеет решения.

Последним двум строкам соответствуют две параллельные плоскости, которые не могут иметь общих точек:

−3 − 2 = 11;

−3 − 2 = 8.

Поскольку с системами линейных уравнений приходится стал-

киваться довольно часто, желательно довести навыки их решения «до подкорки». Нужное количество заданий вы найдете в любом сборнике задач по линейной алгебре.

Задачи к параграфу на с. 189, п. 4.

 

§ 1.5. Неравенства

35 55 Объединим в одной таблице схемы решения линейных неравенств с рассмотренной нами на с. 19 схемой

решения соответствующего уравнения.

 

 

< 0

 

= 0

 

> 0

 

 

 

 

 

 

 

Неравенство

 

 

< 0

= 0

> 0

 

 

 

 

 

 

 

· <

 

( ; +∞)

 

 

 

(−∞; )

· ≤

 

[ ; +∞)

 

 

 

(−∞; ]

· =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· ≥

 

(−∞; ]

 

 

 

[ ; +∞)

· >

 

(−∞; )

 

 

 

( ; +∞)

46

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Как видно из таблицы, если коэффициент при неизвестной в уравнении = отличен от нуля, точка делит вещественную ось на два луча, на одном из которых уравнение превращается в неравенство > , на другом – < .

190 Пример 1. Решить неравенство ( 2 + −2)· < 2 +2 −3.

Решение:

1) 2 + − 2 < 0 ( − 1)( + 2) < 0 (−2; 1). При делении левой и правой частей неравенства на отрицательную величину, знак неравенства меняет направление:

>

2

+ 2 − 3

 

>

( − 1)( + 1)

 

>

+ 1

.

2

+ − 2

( − 1)( + 3)

 

 

 

 

+ 3

2) 2 + − 2 = 0 = −2 или = 1. 2.1) = −2 0 · < −3. Нет решения. 2.2) = 1 0 · < 0. Нет решения.

3) 2 + − 2 > 0 ( − 1) · ( + 2) > 0 (−∞; −2) (1; +∞).

При делении левой и правой частей неравенства на положительную величину направление знака неравенства не меняется:

 

2+2 3

 

( −1)( +1)

 

+1

<

2+ −2

<

 

<

+3 .

( −1)( +3)

Ответ:

1)при = −2 и = 1.

2)( +1+3 ; +∞) при (−2; 1).

3)(−∞; +1+3 ) при (−∞; −2) (1; +∞).

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными + = . Если коэффициенты при неизвестных не равны одновременно нулю, уравнению соответствует прямая на плоскости

§ 1.5. Неравенства

47

(с. 20). Последняя делит плоскость на две полуплоскости.

На одной уравнение + = превращается в неравенство

+ < , а на другой – + > . Чтобы определить на-

правление знака неравенства в каждой полуплоскости, до-

статочно подставить в уравнение любую точку полуплоско-

сти и посмотреть, в какое неравенство превратится уравне-

ние. Если начало координат (0; 0) не лежит на прямой, т. е.

̸= 0, удобно подставлять значения = 0, = 0.

 

Пример 2. Отобразить на плоскости геометрическое

190

место точек ( ; ), заданное неравенствами

 

 

6 + ≥ 10;

 

 

+

5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 − 2 ≤ 10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

графики прямых:

 

 

Построим

 

 

 

 

6 + = 10; + = 5 и 3 − 2 = 10.

 

Для этого достаточно знать две точки на каждой прямой, например точки попарного пересечения прямых. Знание их координат позволит сделать график более информативным. К тому же нам представляется случай еще раз закрепить навыки решения систем линейных уравнений с двумя неиз-

48

 

 

 

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

вестными (с. 28).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

1

 

6 + = 10

 

 

= 1

 

 

2

+ = 5

 

 

= 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

2

 

+ = 5

 

 

 

= 4

 

 

3

3

2 = 10

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: 1

 

3 − 2 = 10

 

 

= 2

 

3

6 + = 10

 

 

= −2

 

 

 

 

 

 

и

3

.

 

Построим уравнения прямых 1, 2

 

 

Отметим на графике

точки , , и проведем через них прямые:

 

 

 

 

 

 

Прямая

Точки

Уравнение прямой

 

 

 

 

 

 

 

1

 

,

6 + = 10

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

,

 

+ = 5

 

 

 

 

 

 

 

3

 

,

3 − 2 = 10

 

Графики прямых 1, 2 и 3 изображены на рис. 5. Теперь, чтобы найти полуплоскость, на которой 6 + > 10, подставим в левую часть неравенства координаты любой не лежащей на прямой 6 + = 10 точки. Мы подставим координаты точки (0; 0). Неравенство не выполняется, значит,

6 + < 10 по другую сторону прямой 1, на графике по правую сторону. Аналогичная подстановка показывает, что неравенство + < 5 выполняется для точек, лежащих

§ 1.5. Неравенства

49

Рис. 5. Треугольник ABC

слева от прямой 2, а неравенство 3 − 2 < 10 – для точек, расположенных левее прямой 3 − 2 = 10. Поскольку нас интересует геометрическое место точек, для которых выполняются одновременно три неравенства, решением системы будет множество пар ( ; ), являющихся координатами точек, принадлежащих одновременно всем трем рассмотренным полуплоскостям.

Ответ: решением будет множество точек треугольника , включая границу, поскольку все неравенства нестрогие.

Пример 3. Допустим, наше предприятие может выпускать 191

два пользующихся спросом на рынке изделия и , для производства которых требуются три вида ресурсов: токарный станок, фрезерный станок и сварочная аппаратура. По

50

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

договору аренды, в этом квартале мы располагаем 800 часами рабочего времени токарного станка, 700 – фрезерного и 640 часами сварочной аппаратуры. Для производства одной партии изделия требуется 8 часов времени токарного станка, 3 – фрезерного и 8 часов сварочной аппаратуры. Для производства партии изделия те же ресурсы нужны в объемах 10, 10 и 5 соответственно. Изделие можно реализовать на рынке по цене 30 тысяч рублей за партию, изделие – 60 тысяч рублей за партию. Требуется составить план производства изделий и , при котором доход с продаж будет максимальным. Иными словами, перед нами стоит вопрос: в каком объеме мы должны производить каждое изделие?

Решение. Оформим условия задачи в виде таблицы:

Ресурс

Изделие

Изделие

Лимит

 

 

 

 

 

 

 

 

Токарный станок

8

10

800

 

 

 

 

Фрезерный станок

3

10

700

 

 

 

 

Сварочное оборудование

8

5

640

 

 

 

 

 

 

 

 

Цена

30

60

 

 

 

 

 

Обозначим количество партий изделий и переменными

и соответственно, тогда каждому реальному производственному плану будет соответствовать точка на плоскости с координатами ( ; ) (рис. 6). На производство партий изделия уйдет 8 часов работы токарного станка, а на производство партий изделия – 10 часов. Значит, для

§ 1.5. Неравенства

51

Рис. 6. Область производственных возможностей

выполнения плана ( ; ) потребуется 8 + 10 часов работы токарного станка, при этом мы не можем затратить более 800 часов. Таким образом, должно выполняться неравенство 8 + 10 ≤ 800. Учитывая также естественные ограничения ≥ 0 и ≥ 0, изобразим на плоскости область наших производственных возможностей, геометрическое место всех пар ( ; ), которые реально можно произвести, если

52

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

единственным ограничением является рабочее время токар-

ного станка. Эта область представлена на рис. 6а. На графи-

ке прямая 8 +10 = 800 обозначена 1. Аналогично ограни-

чения, связанные с арендой фрезерного станка, выразятся

неравенством 3 + 10 ≤ 700, и область производственных

возможностей сузится до изображенной на рис. 6б. Прямая

3 + 10 = 700 обозначена на графике 2. Наконец, ограниченность последнего ресурса означает 8 + 5 ≤ 640 и об-

ласть производственных возможностей примет окончатель-

ный вид (рис. 6в). Это множество всех пар ( ; ), которые

мы в состоянии произвести. Таким образом, область произ-

водственных возможностей задана системой неравенств

8 · + 10 · ≤ 800;

3 · + 10 · ≤ 700;

8 · + 5 · ≤ 640;

≥ 0;

≥ 0.

Осталось решить, какой производственный план будет оп-

тимальным? В соответствии с условиями задачи, партий

изделия дадут доход с продаж 30 , а партий изделия

– 60 тысяч рублей. Итого: 30 + 60 . Пусть – доход с

§ 1.5. Неравенства

53

продаж, тогда решениями уравнения 30 + 60 = при соблюдении известных ограничений будут все пары ( ; ), дающие доход . Например, доход 2 миллиона 400 тысяч рублей можно получить, приняв план, соответствующий точкам (0; 40) или (80; 0), а также любой другой точке, лежащей на отрезке , т. е. на пересечении прямой

30 + 60 = 2400 с областью производственных возможностей. Но, вероятно, это неоптимальные планы. Если мы переместим прямую вверх параллельно самой себе, то новой прямой будет соответствовать большее значение . Так, если прямая 30 + 60 = пройдет через точку (0; 60) на оси , доход составит 3 миллиона 600 тысяч рублей. Однако мы не можем поднять прямую на любую высоту. Мы можем двигать ее вверх параллельно самой себе до тех пор, пока она имеет общие точки с областью производственных возможностей. Таким образом, мы остановимся тогда, когда прямая 30 + 60 = пройдет через точку . Найдем ее координаты:

:

1

8 + 10 = 800

= 20

 

2

3 + 10 = 700

= 64

 

 

 

 

Тогда доход с продаж: 30 · 20 + 60 · 64 = 4440.

Ответ: оптимальный план выпуска – 20 партий изделия и 64 партии изделия . Доход с продаж при этом составит

54

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4 миллиона 440 тысяч рублей.

Задача на оптимизацию, которую мы сейчас рассмотрели, относится к классу задач линейного программирования. Этот раздел математики появился в 30-х годах XX века после выхода статьи Леонида Витальевича Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». В линейном программировании предполагается наличие линейной целевой функции и линейных ограничений. Задача о Леше и Гоше (с. 23) также является задачей линейного программирования. Когда для достижения максимума или минимума целевой функции мы варьируем только двумя переменными, задача имеет простую геометрическую интерпретацию. В случае трех переменных областью производственных возможностей стал бы многогранник в трехмерном пространстве. Рисовать трехмерные чертежи не каждому по силам. В случае еще большего числа переменных нам пришлось бы выйти в многомерное пространство. Например, если бы в последнем примере наше предприятие могло производить 10 видов изделий, задачу пришлось бы решать в 10-мерном пространстве на некотором гипермногограннике, а двигать пришлось бы не прямую, а 9-мерную гиперплоскость. Здесь придется отказаться от наглядности и привлечь аппарат линейной алгебры.

Задачи к параграфу на с. 190, п. 5–7.