Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Алгебраические_уравнения.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
16.10.2020
Размер:
1.79 Mб
Скачать

94

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Решение. Из тождества на с. 57 следует:

2 + 2 + 2 = ( + + )2 − 2( + + ).

+ +

 

2

 

 

 

+ + = 6

 

= 6

2( + + ) = 14

 

+ + = 11

( + + )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6

 

 

 

 

 

= 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнюю систему мы решили в предыдущем примере.

Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1). В расмотренных выше примерах присутствовали уравнения второго порядка с тремя неизвестными. Геометрический смысл таких уравнений будет раскрыт на с. 99.

Задачи к параграфу на с. 193, п. 12–15.

§ 2.5. Однородные многочлены

84 99 Функция нескольких переменных ( , , , . . .) называется однородной порядка n, если для любого вещественного числа > 0 выполняется равенство

( , , , . . .) = · ( , , , . . .).

Иногда также требуют, чтобы число было целым. Напри-

мер, ( , ) = − 3 + 3 – однородная функция вто-

рого порядка, так как

( , ) = · −

 

= 2

(

 

).

( )3 + ( )3

3 + 3

§ 2.5. Однородные многочлены

95

Для многочленов требование > 0 можно заменить на

̸= 0. Тогда однородным многочленом порядка n

мы будем называть многочлен от нескольких переменных

( , , , . . .), такой, что для любого вещественного выполняется равенство ( , , , . . .) = ( , , , . . .). Однородный многочлен порядка определяют и как сумму моночленов порядка . Тогда однородный многочлен второго порядка от двух переменных и должен иметь вид

11 2 + 2 12 + 22 2. Уравнение 11 2 + 2 12 + 22 2 = 0

всегда имеет тривиальное решение: = 0; = 0. Если коэффициенты при 2 и 2 отличны от нуля, то = 0 = 0

и = 0 = 0.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 192

2 − 5 + 6 2 и указать его корни.

Решение. Если ̸= 0,

 

2 − 5 + 6 2 = 2 (( )

2

− 5 · + 6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

= , тогда

2 − 5 + 6 2

= 2 · ( 2 − 5 + 6) =

 

 

= 2( − 2)( − 3) = 2

(

− 2)( − 3) = ( − 2 )( − 3 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ( − 2 )( − 3 ).

Таким образом, задача разложения на множители однородного многочлена второго порядка с двумя переменными сво-

 

 

 

96

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

 

 

дится к задаче нахождения корней квадратного трехчлена.

 

 

 

Отсюда мы можем извлечь еще один прием нахождения кор-

 

 

 

ней квадратного трехчлена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Разложить на множители трехчлен

192

 

 

 

 

6 2 − 5 + 1 и указать его корни.

 

 

 

 

 

 

Решение. Поставим в соответствие исходному квадратно-

 

 

 

му трехчлену однородный многочлен 6 2 −5 + 2. Теперь,

 

 

 

чтобы вернуться к исходному, достаточно положить = 1.

 

 

 

6 2 − 5 + 2 = 2 (6 − 5

+ ( )

 

) = 2(6 − 5 + 2) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

= 2( 2 − 5 + 6) = 2( − 2)( − 3).

 

 

 

Теперь вспомним, что = , и возьмем = 1.

 

 

 

 

 

( − 2)( − 3) =

 

 

 

 

6 2 − 5 + 2 = 2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

= (1 − 2 )(1 − 3 ) = (2 − 1)(3 − 1).

 

 

 

Ответ: (2 − 1)(3 − 1), корни = 21

и = 31 .

 

 

 

Значит, если квадратный трехчлен имеет вид 2 + + 1,

 

 

 

для нахождения его корней достаточно найти корни трех-

 

 

 

члена 2 + + и в ответе записать их обратные величины.

 

Пример 3. Решить уравнение 2 − 5 + 6 2 = 0.

195

 

 

 

 

Решение. Такое уравнение всегда имеет тривиальное ре-

 

 

 

шение: ( = 0)&( = 0). Если ̸= 0, мы можем разделить

§ 2.5. Однородные многочлены

97

левую и правую части уравнения на 2. Пусть

= . Тогда

 

 

2 −5 + 6 = 0. Если дискриминант меньше нуля, других решений, кроме тривиального, не существует. Находим 1 = 2

и 2 = 3. Следовательно, = 2 и = 3 . Тривиальное решение удовлетворяет обоим равенствам.

Ответ: {( ; )| = 2 } {( ; )| = 3 }, где , .

Таким образом, на плоскости однородному алгебраическому уравнению второго порядка соответствует или одна точка с координатами (0; 0), или две пересекающиеся в начале координат прямые.

Пример 4. Решить систему уравнений

195

2 − 5 + 8 2 = 0;

2 + 3 + 2 2 = 48.

Решение. Первое уравнение однородное. Разделив его на 2

и введя замену = , придем к уравнению 2 − 5 + 8 = 0. Дискриминант = 25 − 32 = −7 < 0. Значит, уравнение

2 − 5 + 8 2 = 0 имеет только одно тривиальное решение

( = 0)&( = 0). Подставив это решение во второе уравнение, придем к ложному утверждению: 0 = 48.

Ответ: система не имеет решения.

98

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

195 Пример 5. Решить систему уравнений

2 − 5 + 6 2 = 0;

2 + 3 + 2 2 = 48.

Решение. Первое уравнение однородное. Разделив его левую и правую части на и введя замену = , придем к уравнению 2 − 5 + 6 = 0. Его корни: 1 = 2 и 2 = 3.

1)= 2 = 2 . Подставляем = 2 во второе уравнение системы: 12 2 = 48 2 = 4 = ±2 = ±4.

2)= 3 = 3 . Подставляем = 3 во второе уравнение

системы:

20 2 = 48 2 = 4, 8 = ±4, 8 = ±34, 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: (−2; −4), (2; 4), (−

4, 8; −3

 

4, 8), (

 

4, 8;

 

4, 8).

195

Пример 6. Решить систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

− 2

 

=

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

160;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

= 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Оба уравнения неоднородны. Умножим второе уравнение на 20 и вычтем из результата первое уравнение:

20 2

−60

−40 2

=

160

3 2

−2

 

=

160

17 2

−58

−40 2

=

0.