Решение. Из тождества на с. 57 следует:

2 + 2 + 2 = ( + + )2 − 2( + + ).

Последнюю систему мы решили в предыдущем примере.

Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1). В расмотренных выше примерах присутствовали уравнения второго порядка с тремя неизвестными. Геометрический смысл таких уравнений будет раскрыт на с. 99.

Задачи к параграфу на с. 193, п. 12–15.

§ 2.5. Однородные многочлены

84 99 Функция нескольких переменных ( , , , . . .) называется однородной порядка n, если для любого вещественного числа > 0 выполняется равенство

( , , , . . .) = · ( , , , . . .).

Иногда также требуют, чтобы число было целым. Напри-

√

мер, ( , ) = − 3 + 3 – однородная функция вто-

рого порядка, так как

Для многочленов требование > 0 можно заменить на

̸= 0. Тогда однородным многочленом порядка n

мы будем называть многочлен от нескольких переменных

( , , , . . .), такой, что для любого вещественного выполняется равенство ( , , , . . .) = ( , , , . . .). Однородный многочлен порядка определяют и как сумму моночленов порядка . Тогда однородный многочлен второго порядка от двух переменных и должен иметь вид

11 2 + 2 12 + 22 2. Уравнение 11 2 + 2 12 + 22 2 = 0

всегда имеет тривиальное решение: = 0; = 0. Если коэффициенты при 2 и 2 отличны от нуля, то = 0 = 0

и = 0 = 0.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 192

2 − 5 + 6 2 и указать его корни.

Решение. Если ̸= 0,

Ответ: ( − 2 )( − 3 ).

Таким образом, задача разложения на множители однородного многочлена второго порядка с двумя переменными сво-

2 −5 + 6 = 0. Если дискриминант меньше нуля, других решений, кроме тривиального, не существует. Находим 1 = 2

и 2 = 3. Следовательно, = 2 и = 3 . Тривиальное решение удовлетворяет обоим равенствам.

Ответ: {( ; )| = 2 } {( ; )| = 3 }, где , .

Таким образом, на плоскости однородному алгебраическому уравнению второго порядка соответствует или одна точка с координатами (0; 0), или две пересекающиеся в начале координат прямые.

2 − 5 + 8 2 = 0;

2 + 3 + 2 2 = 48.

Решение. Первое уравнение однородное. Разделив его на 2

и введя замену = , придем к уравнению 2 − 5 + 8 = 0. Дискриминант = 25 − 32 = −7 < 0. Значит, уравнение

2 − 5 + 8 2 = 0 имеет только одно тривиальное решение

( = 0)&( = 0). Подставив это решение во второе уравнение, придем к ложному утверждению: 0 = 48.

Ответ: система не имеет решения.

195 Пример 5. Решить систему уравнений

2 − 5 + 6 2 = 0;

2 + 3 + 2 2 = 48.

Решение. Первое уравнение однородное. Разделив его левую и правую части на и введя замену = , придем к уравнению 2 − 5 + 6 = 0. Его корни: 1 = 2 и 2 = 3.

1)= 2 = 2 . Подставляем = 2 во второе уравнение системы: 12 2 = 48 2 = 4 = ±2 = ±4.

2)= 3 = 3 . Подставляем = 3 во второе уравнение

системы:

20 2 = 48 2 = 4, 8 = ±√4, 8 = ±3√4, 8.

Решение. Оба уравнения неоднородны. Умножим второе уравнение на 20 и вычтем из результата первое уравнение: