Глава 3. Уравнения старшего порядка

§ 3.1. Операции над многочленами

99 107 Операции умножения и сложения многочленов, как и аналогичные операции на множестве вещественных чисел (с. 55), обладают свойствами коммутативности и ассоциативности и связаны дистрибутивным законом. В математике множество, на котором определены операции сложения

иумножения, удовлетворяющие таким свойствам, называют кольцом. Относительно сложения в этом кольце существует «ноль», который просто совпадает с числом ноль, и для каждого многочлена существует противоположный, такой, что сумма исходного многочлена и противоположного ему равна нулю. В этом кольце вещественные числа будут многочленами нулевой степени. Пусть даны два многочлена степени и . Тогда 1) степень их произведения равна + ;

2) cтепень суммы не превышает { , }.

Обратите внимание: сумма может иметь степень, меньшую, чем у слагаемых. Это связано с тем, что старшие степени могут сократиться. Таким образом, множество многочленов замкнуто относительно операций сложения, вычитания

иумножения в том смысле, что результат этих операций всегда многочлен. Однако этого нельзя сказать о делении. Многочлен делится на многочлен , если существует

такой многочлен , что = · . Например,

3( ) = 3 + 2 − 3; 2( ) = 2 − 1;

5( ) = 3( )· 2( ) = ( 3+2 −3)·( 2−1) = 5+ 3−3 2−2 +3.

Тогда многочлен 5 делится без остатка, как на 3, так и на 2. Напрашивается аналогия с множеством целых чисел. Множество целых чисел также замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, но не деления. Чтобы определить, делится ли число 3251 на 12, выполним известный алгоритм:

85

84

1 1

Втаком случае говорят, что при делении 3251 на 12 мы получили 270 и 11 в остатке. Остаток всегда неотрицательное целое число, меньшее делителя. Таким образом,

325112 = 270 + 1112 или 3251 = 170 · 12 + 11.

Теперь вспомним суть десятичной записи числа:

3251 = 3 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 1.

104 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Если в этой записи заменить 10 на , получится многочлен третьей степени 3 3 + 2 2 + 5 + 1. Алгоритм деления многочлена на многочлен практически ничем не отличается от алгоритма деления целых чисел. Он даже проще, поскольку не приходится рассматривать единицу старшего разряда как 10 единиц младшего.

196 Пример 1. Разделить многочлен

5( ) = 5 +3 3 + 2 −2 +1 на многочлен 2( ) = 2 +2 +1.

Решение. Выполним деление многочлена на многочлен по аналогии с известным алгоритмом:

С учетом тождества 2 + 2 + 1 = ( + 1)2, последнюю дробь можно сократить на + 1:

Другой способ записи результата:

5 +3 3 + 2 −2 +1 = ( 3 −2 2 +6 −9)·( 2 +2 +1)+10 +10.

Из применяемого в алгоритме метода исключения старших членов следует, что в остатке всегда получится многочлен степени, меньшей, чем у делителя. В частности, при делении многочлена на линейный член в остатке будет получаться вещественное число.

Деление многочлена на линейный член также можно производить лесенкой, но существует более компактная схема –

схема Горнера. Суть ее заключается в следующем. Пусть многочлен 0 + 1 −1 + . . . + −1 + требуется разделить на линейный член ( − ).

Положим 0 −1 + 1 −2 + . . . + −2 + −1 – результат деления, а – остаток. Тогда

0 + 1 −1 + . . . + −1 + = = ( 0 −1 + 1 −2 + . . . + −2 + −1) · ( − ) + .

106 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Раскроем скобки в правой части последнего равенства и приведем подобные:

0 + 1 −1 + . . . + −1 + = 0 + ( 1 − 0 ) −1 + . . .

Отсюда 0 = 0; 1 = 1 − 0 ; 2 = 2 − 1 и т. д. Наконец,−1 = −1 − −2 и = − −1 . Теперь из последних равенств поочередно выражаем: 0 = 0; 1 = 1 + 0 ;

2 = 2 + 1 и т. д., пока не дойдем до −1 = −1 + −2

и= + −1 . Таким образом, зная коэффициенты исходного многочлена и линейный член ( − ), мы можем последовательно найти все коэффициенты результата деления

иостаток. Вычисления удобно выполнять в таблице. Тогда после некоторой тренировки вы доведете выполнение этой операции до автоматизма.

196 Пример 2. Разделить многочлен 4 − 5 3 + 2 2 − 3 + 7

на линейный член − 2.

Решение. Составим таблицу из трех строк. В первую строку занесем степени коэффициентов от четвертой до нулевой, во вторую поместим соответствующие коэффициенты исходного многочлена, а третью, где должны быть коэффициенты результата выполнения операции и остаток, будем заполнять в ходе выполнения схемы Горнера.