Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Алгебраические_уравнения.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
16.10.2020
Размер:
1.79 Mб
Скачать

§ 3.3. Неравенства

125

Ответ:

(10 −5)2(10 −4)(10 −6)−72 = (100 2−100 +33)(10 −8)(10 −2).

Иногда перед поиском корней многочлена полезно оценить

 

их границы (с. 164).

 

Задачи к параграфу на с. 197, п. 19–26.

 

§ 3.3. Неравенства

107 132 Рассмотрим многочлен третьей степени с одной неизвестной, графиком которого является кубическая парабола (рис. 21). В общем виде уравнение кубической параболы выглядит так:

3( ) = 3 + 2 + + .

Кубический многочлен имеет один или три вещественных корня, при этом допускаются кратные корни, т. е. совпадающие. Совпадать могут два корня, либо все три, в последнем случае многочлен представляется в виде ( − )3. Функция = 3( ) может иметь один локальный максимум и один локальный минимум, которые находятся из условия равенства нулю производной 3( ) = 3 2 + 2 + .

→−∞
→+∞

126 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Рис. 21. Кубическая парабола

Если старший коэффициент > 0,

lim ( ) = −∞ и lim ( ) = +∞.

§ 3.3. Неравенства

 

 

 

 

 

127

Если < 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

(

) = +∞ и

+

 

(

) = −∞

.

→−∞

 

 

 

→ ∞

 

 

 

 

На рис. 21а изображен график кубической параболы

3( ) = 3 2 − − 1. Уравнение 3( ) = 0 имеет един-

ственное решение, соответствующее точке пересечения гра-

фика с осью . Формула Кардано (с. 149) дает значение

3 = 98+15 33 . Теперь начнем увеличивать свободный член

9

до тех пор, пока график не коснется оси в точке локального максимума (см. рис. 21б). Это произойдет, когда свободный член достигнет значения = −275 и уравнение примет вид 3 2 − − 275 = 0. Теперь многочлен имеет кратный корень 1,2 = −13 , соответствующий точке касания

графика с осью

и 3

= −31 . Положим, = 2711 , много-

член примет вид 3

2

− + 2711 (см. рис. 21в). Формула

 

 

 

 

Кардано даст значения трех корней: 1 = 1−23

3 , 2 = 31 и

3 = 1+23 3 . Поднимем график еще выше, так, чтобы он касался оси в точке локального минимума (см. рис. 21г). Свободный член = 1, и 3( ) = 3 2 − + 1. Многочлен легко раскладывается на множители ( − 1)2( + 1) и

имеет три корня: 1 = −1 и кратный корень 2,3 = 1. Еще раз поднимем кубическую параболу вверх, увеличив на 1

(см. рис. 21д). Многочлен примет вид 3( ) = 3 2 − + 2

и теперь имеет один вещественный корень, который можно

128 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

получить по формуле Кардано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(172 + 12

177) − 2(172

+ 12

 

177)

 

t −

 

1 =

 

 

1

 

 

 

 

1, 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

(172 + 12 177)

 

 

 

 

 

 

 

Уже само аналитическое представление корня объясняет, почему мы не спешим предъявить соответствующую формулу. На рис. 21е также изображена кубическая парабола

3( ) = 3, имеющая корень третьей кратности = 0. Как видно на графиках (см. рис. 21а–21д), если корень имеет единичную кратность, многочлен в соответствующей точке пересекает ось и меняет знак на противоположный. Корни единичной кратности называют простыми. Если встречается корень второй кратности, в этой точке график только касается оси , но многочлен не меняет знак. Многочлен на рис. 21е в точке = 0 имеет корень третьей кратности и в этой точке меняет знак на противоположный. Под каждым графиком помещена схема промежутков знакопостоянства, на основании которой можно сразу записывать ответы к соответствующим неравенствам.

200 Пример 1. Решить неравенство 3( ) > 0 (см. рис. 21а).

Ответ: ( 3; +∞).

200 Пример 2. Решить неравенство 3( ) < 0 (см. рис. 21б).

Ответ: (−∞; 1) ( 1; 3).

200 Пример 3. Решить неравенство 3( ) ≥ 0 (см. рис. 21в).

Ответ: [ 1; 2] [ 3; +∞).

§ 3.3. Неравенства

129

Пример 4. Решить неравенство 3( ) ≤ 0 (см. рис. 21г). 200

Ответ: (−∞; 1] { 2}.

Теперь немного теории. До сих пор мы не определили понятие кратности корня. По теореме на с. 110, если число является корнем многочлена ( ), многочлен делится на

( − ) без остатка. Иначе говоря, ( ) = ( − ) −1( ). Если имеет место равенство

( ) = ( − ) ( ),

но ( ) не делится без остатка на ( − ) +1, то является k-кратным корнем многочлена. Линейный член ( − )

сохраняет знак при переходе через точку , если – четное число (см. рис. 21б и 21г), и меняет знак на противоположный в противном случае (см. рис. 21е). Одновременно при этом меняется и знак всего многочлена. Примем без доказательства тот факт, что любой многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается в произведение линейных членов, соответствующих вещественным корням, и квадратных трехчленов c отрицательным дискриминантом. Теперь можно сформулировать алгоритм решения неравенств с многочленом в левой части:

1) разложить многочлен на степени линейных множителей, соответствующие их кратности, и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом;

130 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

2)отметить на оси корни, которые войдут в решение и которые следует исключить из множества решений;

3)отметить дугами промежутки знакопостоянства (рис. 22);

4)определить подстановкой знак на любом из промежутков знакопостоянства и расставить знаки для остальных по принципу чередования.

200 Пример 5. Решить неравенство

( + 2) 2( − 1)3( − 2)2 > 0.

Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках −2, 0, 1, 2. Отметим их на схеме (рис. 22) крестиками, как не входящие в множество решений. Знак меняется только в точках, соответствующих корням нечетной кратности: (−2) и 1. Отметим промежутки знакопостоянства дугами и определим знак на одном из промежутков. Для этого подставим в многочлен, например, значение

3 из крайнего справа промежутка. Многочлен примет положительное значение. Теперь расставим по принципу чередования знаки в остальных промежутках, как показано на рис. 22.

Ответ: (−∞; −2) (1; 2) (2; +∞).

200 Пример 6. Решить неравенство

( + 3)( + 2)( − 3)(2 − )( − 1) ≥ 0.

§ 3.3. Неравенства

131

Рис. 22. Промежутки знакопостоянства из примера 5

Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках −3, −2, 1, 2, 3. Отметим их на схеме (рис. 23) жирными точками, поскольку они войдут в решение. Все корни простые, т. е. единичной кратности, а значит, делят вещественную ось на шесть промежутков знакопостоянства. Подставив в многочлен = 0, найдем знак на интервале (−2; 1). На этом интервале будет знак «−». Опять по принципу чередования расставим знаки в остальных интервалах, как показано на рис. 23.

Ответ: (−∞; −3] [−2; 1] [2; 3].

Рис. 23. Промежутки знакопостоянства из примера 6

Пример 7. Решить неравенство

200

( 2 + + 1)( − 1)2( − 3)(2 − )( − 4)3 ≤ 0.

Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках 1, 3, 4. Мы отметим их, как решения, жир-