Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. К. Белый, Ю. А. Дорофеева
Математика не для ЕГЭ
Алгебраические уравнения
Учебное пособие для абитуриентов и студентов первого курса
Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2015
УДК 512.1 ББК 22.14 Б439
Печатается по решению редакционно-издательского совета Петрозаводского государственного университета
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор каф. геометрии и топологии ПетрГУ
С. С. Платонов; д-р экон. наук, зав. отделом моделирования и прогнозирования реги-
онального развития института экономики КарНЦ РАН
П. В. Дружинин
Белый, Евгений Константинович.
Б439 Алгебраические уравнения : учебное пособие для абитуриентов и студентов первого курса / Е. К. Белый, Ю. А. Дорофеева ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федеральное бюджетное образовательное учреждение высш. проф. образования Петрозавод. гос. ун-т. – Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2015. – 240 с. – (Математика не для ЕГЭ).
ISBN 978-58021-2604-2
Учебное пособие ориентировано на широкий круг читателей: абитуриентов, студентов первого курса, а также учителей математики средней школы.
ISBN 978-58021-2604-2
УДК 512.1 ББК 22.14
○c Белый Е. К., Дорофеева Ю. А., 2015
○c Петрозаводский государственный университет, 2015
Содержание
Предисловие |
5 |
Математическая символика |
9 |
Введение |
12 |
Глава 1. Линейные уравнения |
19 |
§ 1.1. Уравнения с одной неизвестной . . . . . . . . |
19 |
§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными . . . . . . |
20 |
§ 1.3. Системы двух уравнений . . . . . . . . . . . . |
28 |
§ 1.4. Системы трех и более уравнений . . . . . . . |
35 |
§ 1.5. Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
Глава 2. Уравнения второго порядка |
55 |
§ 2.1. Основные алгебраические тождества . . . . . |
55 |
§ 2.2. Квадратный трехчлен . . . . . . . . . . . . . |
59 |
§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными . . . . . . |
80 |
§ 2.4. Симметричные формы . . . . . . . . . . . . . |
84 |
§2.5. Однородные многочлены . . . . . . . . . . . . 94
§2.6. Уравнения с тремя неизвестными . . . . . . . 99
Глава 3. Уравнения старшего порядка |
102 |
§ 3.1. Операции над многочленами . . . . . . . . . |
102 |
§3.2. Разложение многочленов на множители . . . 107
§3.3. Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 3.4. Комплексные корни многочлена . . . . . . . 132
§3.5. Формула Кардано . . . . . . . . . . . . . . . . 149
§3.6. Формула Феррари . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§3.7. Границы корней многочлена . . . . . . . . . . 164
§3.8. Интерполяционный многочлен Лагранжа . . 168
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
. . . . . . . . 173 |
Задачи |
188 |
Ответы |
207 |
Древнегреческий алфавит |
226 |
Биографические справки |
227 |
Список литературы |
237 |
Учитель может только указать путь. Пройти путь каждый должен сам.
Восточная мудрость
Предисловие
9 Дорогой читатель! Мы открываем экспериментальную серию книг «Математика не для ЕГЭ». Основное назначение серии – помочь выпускнику систематизировать, творчески усвоить программу средней школы и адаптировать будущего студента к программе высшей школы. Поэтому книги будут полезны и первокурсникам, только приступившим к изучению высшей математики. Не в последнюю очередь мы надеемся, что предлагаемые учебные пособия окажутся полезными учителям математики, особенно преподающим в физико-математических классах. В процессе работы над книгой авторы опирались на личный опыт подготовки абитуриентов к вступительным экзаменам и опыт преподавания на различных факультетах ПетрГУ, который показывает, что многим студентам, вплоть до старших курсов, не дают успешно учиться пробелы в знаниях по элементарной математике. А это, как зубная боль: пока серьезно не возьмешься за лечение, будет мешать.
Само название серии говорит о том, что мы не считаем главной целью обучения сдачу ЕГЭ. Любой экзамен всего лишь
6 |
ПРЕДИСЛОВИЕ |
один из методов контроля качества усвоенного материала, и, к сожалению, его успешная сдача далеко не всегда означает готовность подняться на следующую ступень образования. Сейчас имеется довольно широкий выбор литературы для поступающих в вузы, и может возникнуть вопрос: зачем нужна еще одна книга для абитуриентов? Здесь можно заметить, что мы преследуем более дальние цели, нежели только поступление в вуз. Книги этой серии не заменят школьные учебники и тем более уроки, в них нет той последовательности изложения материала, которая присуща методистам и которая рассчитана на годы обучения, но они помогут на некоторые вещи взглянуть под другим углом зрения. Авторы не пытались включить в пособие как можно больше задач, поскольку хороших задачников с разобранными примерами решений более чем достаточно. Разумеется, это книги под редакцией М. И. Сканави, учебное пособие для студентов педагогических институтов В. Н. Литвиненко и А. Г. Мордкович и пр. Для всех, кто интересуется задачами с параметрами, можно рекомендовать замечательную книгу В. П. Моденова. В конце пособия (с. 237) вы найдете список литературы, где представлены не только книги, содержание которых «вписывается» в школьную программу, но и вузовские, в которых пройденные в школе темы получают дальнейшее развитие. Это, прежде всего, учебники и задачники по аналитической геометрии и алгебре. Для
7
будущих математиков и физиков можно рекомендовать все выпуски физико-математического журнала «Квант» начиная с 1970 года, где можно найти не только разбор методов решения задач по самым разным разделам математики и физики, но и множество статей, написанных представителями этих наук. Если вы серьезно настроены на учебу,
не стоит останавливаться на одном учебном пособии. Разные авторы по-разному раскрывают одни и те же темы, и разные читатели по-разному воспринимают один и тот же текст. К одной цели можно идти различными дорогами. Приобретение нескольких книг поможет сэкономить на репетиторах и между делом развить навык самостоятельной работы, который в жизни очень пригодится.
На протяжении столетий в школьной программе формировалась, фиксировалась система наиболее важных сведений, необходимых для начала самостоятельной жизни, – фундамент востребованных в обществе профессий. Вопрос «как учиться?» непростой. Сейчас главная беда значительной части первокурсников заключается даже не в слабой подготовке по математике, а именно в неумении и нежелании учиться. А учится человек для себя. Потому что ему интересно учиться. Потому что он хочет продолжить образование в лучших вузах страны и даже мира. Потому что он хочет
стать специалистом, хозяином жизни, быть востребованным в обществе и государстве. Ведь все привычные нам
8 |
ПРЕДИСЛОВИЕ |
и кажущиеся незаменимыми в повседневной жизни замечательные технические устройства, сооружения – результат применения достижений науки, в том числе сложного математического аппарата. В современном обществе наука признана важнейшим фактором производства. Впрочем, и раньше многие выдающиеся государственные деятели понимали это. Так, Петр I и Наполеон не только знали математику на уровне квалифицированного инженера, но и уделяли большое внимание вопросам математического образования, поскольку математика является базовой дисциплиной для всех точных наук, а заботу о процветании наук они считали делом государственным.
Авторы надеются, что «Математика не для ЕГЭ» поможет будущим специалистам усовершенствовать свою математическую подготовку, а у кого-то пробудит интерес к математике. Замечания и предложения вы можете направлять по адресу: belyi@petrsu.ru. Хотелось бы обратить внимание на тот факт, что инструмент, которым вы научитесь пользоваться сегодня, будет вашим верным другом на протяжении всей жизни. И если вы все-таки решили учиться, желаем запастись терпением. Пусть в этом нелегком деле вам сопутствует удача!
Евгений Белый
Июль 2015