Ankilov

Запишите в свою лабораторную работу все восемь законов с указанием невязок и сделайте вывод относительно наилучших зависимостей.

Метод Лагранжа

Через любые n точек с абсциссами x0<x1<x2<...<xn-1 можно провести единственный

полином (n-1) степени. По методу Лагранжа легко определить коэффициенты этого полинома, не используя метод наименьших квадратов

Построим график функции y(x) (линия) и экспериментальные точки:

i0

7.5.8.Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего

примера

Дана таблица 7.20 значений x и y

1. Построим на чертеже точки, соответствующие табл. 7.20.

Рис. 7.23.

261

y44,940186 x 7,813314 ex 34,251373 sin(x) 8,790875 .

7.Аналогично предыдущему пункту, проведем аппроксимацию эксперимента, используя для примера восемь систем трех функций:

Перемножая скалярно соответствующие векторнозначные функции F на вектора коэффициентов разложения V, найденные в программе, выписываем все восемь законов с указанием соответствующих невязок :

Анализируя величины невязок, делаем вывод, что наиболее приемлемыми законами являются 7, 4 и 1-й.

На компьютере строим графики этих функций (вместо y1 (x) , y4 (x) и y7 (x) примера

строим свои лучшие законы).

8. В конце файла приведен пример применения метода Лагранжа, аппроксимации экспериментальных данных многочленом 11-го порядка. Невязка данной аппроксимации

будет равна нулю, так как через любые n точек с абсциссами x1 x2 ... xn можно точно

провести многочлен ( n 1)-го порядка.

9. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

7.5.9. Основные термины

Метод наименьших квадратов Необходимое условие экстремума Нормальная система Невязка аппроксимирующей функции

7.5.10.Вопросы для самоконтроля

1.Как выбирается вид функциональной зависимости (линейная, квадратичная и т.д.) между величинами x и y ? Как находится отклонение точки от аппроксимирующей кривой?

2.В чем заключается метод наименьших квадратов?

3.Сформулировать необходимое и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

4.Записать нормальную систему уравнений метода наименьших квадратов.

5.Записать нормальную систему уравнений аппроксимации линейной и квадратичной зависимостями.

6.Всегда ли нормальная система уравнений является линейной относительно параметров a, b, c,... ?

7.Что называется невязкой?

264

7.6. Прикладной математический пакет «Mathcad»

7.6.1. О программе

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов.

Вначале эти расчеты выполнялись на программируемых микрокалькуляторах или с помощью программ на универсальных языках программирования, таких, как Бейсик или Паскаль. Постепенно для облегчения расчетов были созданы специальные математические компьютерные системы.

Одна из самых мощных и эффективных математических систем – MathCAD. Она существует в двух вариантах: стандартном MathCAD Standard и профессиональном MathCAD Professional (PRO). Стандартная версия ориентирована на большинство пользователей, а профессиональная – на профессионалов, серьезно занимающихся математическими расчетами.

Системы MathCAD традиционно занимают особое место среди множества таких систем (MatLAB, Mathematica и др.) и по праву могут называться самыми современными, универсальными и массовыми математическими системами. Они позволяют выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеют чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики.

Системы класса MathCAD предоставляют уже привычные, мощные, удобные и наглядные средства описания алгоритмов решения математических задач. Преподаватели и студенты вузов получили возможность подготовки с их помощью наглядных и красочных обучающих программ в виде электронных книг с действующими в реальном времени примерами. Новейшая система MathCAD PRO настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работающему со сложнейшими научными проблемами. Система имеет достаточные возможности для выполнения наиболее массовых символьных (аналитических) вычислений и преобразований.

Исключительно велика роль систем класса MathCAD в образовании. Облегчая и делая интересным решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении математики. Грамотное применение систем в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования в нашей стране.

7.6.2. Основные понятия и функции

Для работы в системе Mathcad достаточно поместить курсор в желаемое место окна редактирования (красный крестик на цветном дисплее) и затем начать ввод математического

выражения (черное обрамление , называемое математической областью, внутри которой это выражение набирается).

Маленькая черная рамка ■ в математической области есть поле ввода. Наличие поля ввода указывает на то, что ввод математического выражения или графика не закончен. Для заполнения этого поля нужно щелкнуть по нему мышью и начать ввод. Для создания математических выражений используются следующие операции.

Арифметические операции: сложение – ‘+’; возведение в степень – ‘^’; факториал – ‘!’; абсолютная величина – ‘|’; умножение – ‘*’; корень n-й степени – ‘Ctrl’+’\’ (т. е. необходимо одновременно нажать две клавиши ‘Ctrl’ и ’\’); квадратный корень – ‘\’; вычитание – ‘–‘;

265

3

суммирование – ‘Ctrl’+‘Shift’+‘4’ (например, i2 14 ); произведение – ‘Ctrl’+‘Shift’+‘3’

i 1

3

(например, i2 36 ).

i 1

Логические операторы: больше – ‘>’; меньше – ‘<’; больше либо равно – ‘Ctrl’+’0’;

меньше либо равно – ‘Ctrl’+’9’; не равно – ‘Ctrl’+’3’; равно – ‘Ctrl’+’=’.

Символы присвоений (вводится правая и левая части): присвоение значений переменных и функций (на экране появится “: ”) – ‘:’; булево равенство (на экране – жирный знак “=”) – ‘Ctrl’+’=’.

Символы вычислений (вводятся левая часть, а правая вычисляется автоматически):

получение числового значения – ‘=’; получение символьного значения (“ ”) – ‘Ctrl’+’.’. Для определения точности полученного результата необходимо два раза щелкнуть

левой кнопкой мыши на поле, его содержащем (или через меню инструментов: Format Result, или, если программа русифицирована, Формат Результат), и во всплывающем окне «Format result» установить число десятичных знаков (Точность отображения или Number of decimal places) от 0 до 15. После нажатия кнопки «OK» результат автоматически будет округлен до необходимого числа знаков.

Введение основных аналитических функций: синус – sin(x); косинус – cos(x); тангенс – tan(x); котангенс – cot(x); арксинус – asin(x); арккосинус – acos(x); арктангенс – atan(x);

арккотангенс – acot(x); экспонента – exp(x) или ex ; натуральный логарифм – ln(x); десятичный логарифм – log(x); логарифм x по основанию a – log(x,a), синус гиперболический

– sinh(x); косинус гиперболический – cosh(x); тангенс гиперболический – tanh(x); котангенс гиперболический – coth(x); арксинус гиперболический – asinh(x); арккосинус гиперболический – acosh(x); арктангенс гиперболический – atanh(x); арккотангенс гиперболический – acoth(x).

Все встроенные функции системы Mathcad можно получить при нажатии ‘Ctrl’+’E’ (или через меню инструментов: Insert Function, или, если программа русифицирована, Вставка Функция) и во всплывающем окне «Insert function» выбрать необходимую функцию. После нажатия кнопки «OK» выбранная функция будет вставлена в место, где установлен курсор. В частности, при разработке лабораторных работ были использованы функции:

floor(x) – усечение числа x до наибольшего целого числа меньше либо равного x; ceil(x) – усечение числа x до наименьшего целого числа больше либо равного x; root(f(x),x,a,b) – отыскание корня уравнения f (x) 0 по переменной x на отрезке [a,b] ;

linfit(X,Y,F) – возвращает вектор, содержащий коэффициенты, используемые, чтобы создать линейную комбинацию функций из векторнозначной функции F, которая дает наилучшую аппроксимацию данных из векторов X и Y;

regress(X,Y,k) – возвращает вектор, требуемый функции interp, чтобы найти многочлен порядка k, который наилучшим образом приближает данные из векторов X и Y;

interp(S,X,Y,x) – возвращает оценку данных из X и Y многочленом y(x), где вектор S вычисляется с помощью функции regress;

if(cond,a,b) – возвращает значение a, если условие cond истинно, и значение b, если ложно (в качестве условия cond обычно используется логический оператор, например, i 2 ).

Задание дискретных величин осуществляется при нажатии ‘;’. Например,

Чтобы набрать эти формулы, необходимо с клавиатуры набрать i : 0;3 и j :1,1.1;1.5 .

Первая формула означает, что i принимает значения 0, 1, 2, 3, а вторая, что j принимает значения 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 (т. е. вторая цифра показывает каков шаг дискретной величины).

266

С помощью дискретных величин в системе Mathcad можно организовывать простейшие циклы, с помощью которых удобно задавать матрицы и векторы (см. п. 7.6.4).

Все описанные символы операторов и основных элементарных функций можно ввести с помощью мыши из всплывающего меню (View Toolbars Calculator, Evaluation, Boolean, Calculus или Вид Панели инструментов Арифметика, Вычисления, Логика, Исчисления).

Если необходимо ввести символы греческого алфавита, то необходимо воспользоваться меню View Toolbars Greek (Вид Панели инструментов Греческий Алфавит).

7.6.3. Операторы математического анализа

Нахождение производной первого порядка осуществляется по нажатию клавиш

‘Shift’+‘/’. При этом производную можно вычислить либо в точке, либо получить ее аналитическое выражение. Например, производная в точке

а аналитически

dxd x2 ln(x) 2xln(x) x .

Если задана функция нескольких переменных, то данный оператор вычисляет частную производную по указанной переменной

f (x, y) : x2 y2 xy dyd f (x, y) 2 y x.

Для нахождения производных высших порядков необходимо нажать ‘Ctrl’+‘Shift’+‘/’ и

задать порядок производной, переменную дифференцирования и функцию. Например,

Для вычисления смешанных производных функции нескольких переменных необходимо находить производную по одной переменной от производных по другим переменным. Например,

Нахождение неопределенных интегралов, если это возможно, осуществляется по нажатию ‘Ctrl’+’I’. Например,

x ln(x)dx 12 x2 ln(x) 14 x2 .

Для вычисления определенных интегралов необходимо нажать ‘Shift’+‘7’ и ввести пределы интегрирования, подынтегральную функцию, переменную интегрирования. После нажатия знака ‘=’ получим числовой результат. Например,

2

x ln(x)dx 0.636 .

1

Все описанные символы операторов математического анализа можно ввести с помощью мыши из всплывающего меню (View Toolbars Calculus или Вид Панели инструментов Исчисления).

267

7.6.4. Функции и операторы матриц

Самый простой способ создания массива чисел состоит в создании массива из пустых полей и их последующем заполнении. Для этого нажмите ‘Ctrl’+’M’, чтобы вызвать диалоговое окно, и определите в нем нужное количество строк и столбцов. Нажмите «OK», чтобы создать массив пустых полей. Щелкните на поле, чтобы выделить его, затем введите требуемое значение. Для перемещения между полями можно также использовать клавишу

«Tab».

При определении больших массивов, для каждого элемента которых существует формула, через которую он выражается, удобнее использовать дискретные аргументы.

При обращении к матрице необходимо помнить, что нумерация строк и столбцов начинается с 0. Например, если хотим получить элемент, стоящий на пересечении 2-й строки

и 3-го столбца, необходимо запросить элемент X1,2 .

Операторы, определенные для векторов и матриц: сложение – ‘+’; векторное произведение – ‘Ctrl’+’8’; определитель – ‘|’; скалярное произведение – ‘*’; обратная матрица – ‘^-1’ (т.е. возведение в степень –1); степени матриц – ‘^’; умножение – ‘*’; нижний индекс – ‘[‘; вычитание – ‘– ‘; суммирование элементов – ‘Ctrl’+’4’; верхний индекс –

‘Ctrl’+’6’; транспонирование – ‘Ctrl’+’1’.

Встроенные функции, определенные для матриц: rows(A) – число строк матрицы A;

cols(A) – число столбцов матрицы A; max(A) – максимальный элемент матрицы A; min(A) – минимальный элемент матрицы A; rank(A) – ранг матрицы A;

rref(A) – приведение матрицы A к ступенчатому виду; length(B) – количество элементов вектора B;

augment(A,B) – объединение матриц A и B (добавлением матрицы B справа к матрице A); submatrix(A,a,b,c,d) – возвращает матрицу, состоящую из всех элементов, которые

содержатся в строках с a по b и столбцах с c по d матрицы A; lsolve(A,B) – решение системы линейных уравнений с матрицей системы A и столбцом

свободных элементов B.

Все описанные операторы (кроме встроенных функций) можно ввести с помощью мыши из всплывающего меню (View Toolbars Matrix или Вид Панели инструментов Матрицы).

268

7.6.5. Создание декартовых графиков на плоскости

Нажмите клавишу ‘Shift’+‘2’ или введите с помощью мыши из всплывающего меню декартов график (View Toolbars Graph или Вид Панели инструментов График). В открывшемся поле графика (рис. 7.25) поместите в поле ввода 1 функцию или выражение, которое будет отображаться графически, а в поле ввода 2 непрерывную или дискретную переменную по которой строится график.

Рис. 7.25.

Затем нажмите клавишу F9, чтобы построить график. По умолчанию, если функция определена, график будет построен на отрезке [ 10,10].

Например, необходимо ввести функцию f (x) e 2x ln(x) и построить график этой функции на интервале (0.3;1.5) .

Для этого определяем функцию f (x)

f(x) : e 2 x ln(x)

ив поле ввода 5 и 6 (рис. 7.26) помещаем начальное и конечное значение интервала 0.3 и 1.5 соответственно. В поле 3 и 4 показываются максимальное и минимальное значение функции на этом интервале.

Рис. 7.26.

Чтобы на одном графике изобразить несколько функций, необходимо в поле ввода 1 (рис. 7.25) через запятую перечислить функции или выражения, которые будут отображаться графически, а в поле ввода 2 (рис. 7.25) через запятую соответствующие непрерывные или дискретные переменные (если переменные совпадают, то достаточно указать только одну переменную). Например, на рис. 7.27 построены графики функций sin(x) и ln(y) 1.

269