Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновский Государственный Педагогический Университет им. И. Н. Ульянова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ankilov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Пример 5.1.1. Покажем, что ряд																										1		...								1
					1					1					1 ...											1		...								1

				1 2						2 3				3 4									n(n 1)								n 1			n(n 1)
сходится и найдем его сумму.
Возьмем сумму Sn					первых n членов ряда
											Sn						1				1			...				1				.
											Sn				1 2					2		3		...			n(n 1)					.
															1 2					2		3					n(n 1)
Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде
	1			1		1		,		1			1			1		,		1					1 1			, ...,				1					1		1		,
1 2				1				,	2 3							1		,	3 4						1 1			, ...,	n(n 1)								n		n 1		,
1 2				1		2			2 3				2 3						3 4						3 4				n(n 1)								n		n 1
поэтому
	S					1					1			1					1				1					1					1			1			1
		n	1																							...														.
			1			2					2			3					3			4				...					n		1					n 1		.
						2					2			3					3			4						n			n		1					n 1
Отсюда следует, что
							lim S														1					1 lim				1					1.
											n	lim 1
												lim 1								n 1													1
							n							n						n 1								n n					1

Таким образом, ряд сходится и его сумма S равна 1. Пример 5.1.2. Установим, сходится или расходится ряд

1 1 1 1 ... ( 1)n 1 ... ( 1)n 1 .

n 1

Для данного ряда последовательность частичных сумм S1 1, S2 0, S3 1, S4 0, ... не имеет предела, следовательно, ряд расходится.

Пример 5.1.3. Рассмотрим ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию

a aq aq2

... aqn 1

... aqn 1 , a 0 .

(5.3)

n 1

Частичная сумма Sn этого ряда при q 1 имеет вид

Sn a aq aq2

...

aqn 1

a aqn

aqn

1 q

Отсюда:

Если

1 , то lim S

lim

aqn

т. е.

ряд сходится и его сумма

1 q

. Например, при a 1, q 1

имеем:

S 1

... 2 .

2n 1

121

Если

1, то lim S

lim

a aqn

, т. е. ряд расходится.

При

q 1 ряд

(5.3)

принимает

вид:

a a ... a ... .

этом

случае

Sn na ,

lim Sn , т. е. ряд расходится.

При q 1 ряд (5.3) принимает вид: a a a a .... Для него Sn

при n четном

и Sn a при n нечетном. Следовательно,

lim Sn

не существует и ряд расходится.

Таким образом, ряд (5.3) является сходящимся при

1 и расходящимся при

1 .

Теорема 5.1.1. (Необходимый

признак сходимости). Если

ряд un

сходится, то

n 1

lim un 0 .

Доказательство. По условию ряд

сходится. Обозначим через S его сумму.

n 1

Рассмотрим

частичные

суммы ряда Sn u1 u2 ... un 1 un

Sn 1 u1

... un 1 .

Очевидно,

un Sn Sn 1 . Так как Sn S и Sn 1

S при n , то

lim un lim(Sn Sn 1 ) lim Sn lim Sn 1 S S 0 .

Заметим, что условие lim un 0

является необходимым, но не достаточным условием

расходится (это будет

сходимости ряда. Например, так называемый гармонический ряд

n 1

установлено ниже), хотя lim

0 .

n n

lim un 0 или

lim un не

Из необходимого признака сходимости следует, что если

существует, то ряд un

расходится.

n 1

Пример 5.1.4. Рассмотрим следующие ряды:

1 .

n 1

( 1)n n 1 .

n 1

Оба ряда расходятся. В первом случае lim n 1 1 0 , во втором случае

lim( 1)n n 1

не существует.

5.1.2. Свойства сходящихся рядов

Приведем основные свойства сходящихся числовых рядов.

1. Если ряд un сходится и его сумма равна S, то и ряд сun , где с – некоторое

n 1		n 1

число, также сходится, и его сумма равна с S , т. е.	cun	c un .
	n 1	n 1

122


Действительно, пусть Sn – частичная сумма ряда un , а n				– частичная сумма ряда
			n 1

сun . Тогда n cu1	cu2	... cun c(u1 u2 ... un ) cSn . Отсюда, переходя к пределу
n 1
при n , получаем	lim n lim cSn c lim Sn c S , т. е. последовательность частичных
	n	n	n

сумм n ряда сun	сходится к сS . Следовательно, сun c S			c un .
n 1			n 1	n 1
Аналогично доказывается свойство

2. Если ряды un и		n сходятся и их суммы соответственно равны S и , то и
n 1		n 1

ряды (un n ) сходятся и их суммы равны S , т. е. (un n ) un n .
n 1			n 1	n 1	n 1
Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно умножать на число, почленно
складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.
Имеет место также свойство

3. Если ряд un	сходится, то сходится и любой его остаток			un	(k 1) . И обратно,
n 1				n k 1

если какой-либо остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.

Из этого свойства следует, что отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

5.1.3.Знакоположительные ряды

Втеории рядов одним из важнейших является вопрос о сходимости ряда. Наиболее просто он решается для рядов, члены которых положительны. Для краткости будем называть также ряды знакоположительными.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая

Теорема 5.1.2. (Признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда


		un	и n
		n 1	n 1
и пусть un n , n 1, 2, ... . Тогда

	если сходится ряд n , то сходится и ряд un ;
	n 1		n 1

	если расходится ряд un , то расходится и ряд n .
	n 1		n 1
Доказательство.

1.	Обозначим через Sn и n	соответственно частичные суммы рядов un		и n . Из
			n 1	n 1

неравенства un n следует, что		Sn n . По условию ряд n сходится, т. е. существует
			n 1

lim n	. Поскольку всякая сходящаяся последовательность является ограниченной, то
n
	123

найдется число M 0 , такое,	что n M для всех	n 1, 2, ....	Но тогда Sn n M , т. е.
последовательность Sn ограничена сверху. Кроме того,			последовательность Sn
возрастает, так как un 0 . По теореме о		пределе	монотонной ограниченной
последовательности существует lim Sn S , т. е. ряд
последовательности существует lim Sn S , т. е. ряд		un сходится.
	n	n 1
		n 1

2. По условию ряд un	расходится. Докажем методом от противного, что ряд n
n 1			n 1

тоже расходящийся. Допустим, что ряд n сходится. Тогда по доказанному выше ряд

n 1

un тоже будет сходится, а это противоречит условию теоремы.

n 1

Замечание. Из третьего свойства сходящихся рядов следует, что теорема справедлива и в том случае, когда неравенства un n выполняются, начиная с некоторого номера

n N 1.

Пример

5.1.5.

Рассмотрим

ряд

«обратных квадратов»

Сравним его

со

n 1

сходящимся

рядом

(см.

пример 5.1.1). Из неравенства

n(n 1)

n 1

теоремы 5.1.2 следует сходимость ряда «обратных квадратов».

Во многих случаях более удобной для применения является следующая теорема, вытекающая из предыдущей.

Теорема 5.1.3. (Предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных

0 lim un

. Тогда данные ряды либо оба сходятся, либо оба

ряда un и

n и пусть

n 1

n n

расходятся.

Пример 5.1.6.

Исследуем

на

сходимость ряд

. Сравним данный ряд со

n 1 2n

сходящимся

рядом

из

«обратных

квадратов»

. Выбор такого ряда для сравнения

основан на том, что

n 1

при n .

2n3

2n2

Так как

lim

0 ,

lim

3 1

2n3 1

1 n3

n 2n

то по теореме 5.1.3 ряд

сходится.

n 1 2n

Трудность применения признаков сравнения заключается в том, что для данного ряда нужно для сравнения подбирать другой ряд, о котором известно, сходится он или расходится. Обычно в качестве «эталонных» рядов, с которыми производят сравнение, выбирают следующие ряды:

124

1. Геометрический ряд aqn 1 , который сходится при

и расходится при

n 1

(см. пример 5.1.3).

1 – расходится.

2. Гармонический ряд

n 1

3. Обобщенный гармонический ряд, или ряд Дирихле

. Сходится при 1 и

расходится при 1 (см. пример 5.1.10 ниже).

n 1

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о

сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом.

Теорема 5.1.4. (Признак Даламбера).

Пусть дан знакоположительный ряд

n 1

существует предел lim un 1 l . Тогда при

l 1 данный

ряд

сходится, а при

l >1

–

n un

расходится.

Замечание. При l = 1 необходимо дополнительное исследование ряда с применением других признаков, так как в этом случае исследуемый ряд может как сходиться, так и расходиться.

сходится, так как

Пример 5.1.7. Ряд 10

n 1 n!

lim

n 1

lim

10n 1

lim

0 1.

(n 1)!

10n

n n

Пример 5.1.8. Рассмотрим ряд

Имеем lim

n 1

lim

1 .

(n 1)

n n 1

n 1

Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 5.1.5), данный ряд сходится.

Теорема 5.1.5. (Радикальный признак Коши). Пусть дан знакоположительный ряд

	и существует предел lim n un l . Тогда при l < 1 данный ряд сходится, а при l > 1 –
un
n 1	n

расходится. При l = 1 требуется дополнительное исследование.

	n 1		n2
Пример 5.1.9. Ряд		n		расходится, так как
n 1

lim n un	n 1		n		1 n	e 1.
lim n un	lim	n		lim 1		e 1.
n	n	n		n	n

Признак Даламбера и радикальный признак Коши достаточно просты и удобны для применения, но в случае l = 1 эти признаки не дают ответа на вопрос о сходимости ряда. Более сильным (но и более сложным для применения) является следующий признак.

Теорема 5.1.6. (Интегральный признак Коши). Пусть f (x) – непрерывная,

положительная и невозрастающая функция при x 1 и пусть		f (n) un , n 1, 2, ... . Тогда,

если несобственный интеграл f (x)dx	сходится, то сходится и ряд un ; если же		f (x)dx
1		n 1	1

расходится, то ряд un также расходится.

n 1

125

Пример 5.1.10. Исследуем сходимость обобщенного гармонического ряда

зависимости от значения параметра .

n 1

При 0 поведение данного ряда выясним с помощью интегрального признака Коши.

Возьмем в качестве функции

f (x)

функцию

(x 1) , которая удовлетворяет условиям

dx . Имеем:

теоремы 5.1.6, и исследуем на сходимость несобственный интеграл

если 1

lim

dx lim

lim

1 x

если 0 1.

Если

то

dx lim ln x

1b lim ln b .

Таким

образом,

несобственный

интеграл

1 x

при

сходится,

а при

0 1

расходится. Следовательно, ряд n 1

сходится при 1 и расходится при

0 1.

При

данный

ряд также

расходится,

так

как

lim

0 ,

т. е. нарушается

необходимый признак сходимости (см. теорему 5.1.1).

n n

В частности, при 2

– имеем сходящийся ряд

; при

1 – расходящийся

n 1

1 и т. д.

гармонический ряд

n 1

Заметим, что ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не решают вопроса

о сходимости данного ряда, так как

lim

n 1

lim

n n 1

lim n

lim

n n

5.1.4.Знакопеременные ряды

Вэтом пункте рассматриваются ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Прежде всего рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки – так называемые знакочередующиеся ряды. Для определенности будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде


u1 u2	u3 ... ( 1)n 1 un ... ( 1)n 1 un ,	(5.4)
	n 1

где un 0 .

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

126

Теорема 5.1.7. (Признак Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (5.4) монотонно убывают, т. е. u1 u2 u3 ..., и nlim un 0 ,

то ряд (5.4) сходится; его сумма S положительна и не превосходит u1 (0 S u1 ) . Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

S2m u1 u2 u3 u4 ... u2m 1 u2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) ... (u2m 1 u2m ) .

Все разности в скобках в силу первого условия теоремы положительны, поэтому с возрастанием m последовательность частичных сумм S2m возрастает, причем S2m 0 .

Представим теперь S2m в виде

	S2m u1 [(u2			u3 ) (u4 u5 ) ... (u2m 2			u2m 1 ) u2m ] .
Отсюда следует, что			S2m u1	для любого	m 1, 2, ... ,		т. е. последовательность S2m
ограничена сверху.				S2m возрастает и
Итак, последовательность						ограничена сверху, следовательно,
существует lim S	2m	S	, причем	0 S u .
m				1
Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечетного числа членов
сходится к тому же пределу S. Действительно,					S2m 1 S2m u2m 1 . Переходя в этом равенстве
к пределу при m и используя второе условие теоремы, получаем
	lim S2m 1 lim(S2m u2m 1 ) lim S2m lim u2m 1 S 0 S .
	m		m	m		m
Таким образом,			последовательность частичных			сумм Sn ряда (5.4) сходится к

пределу S. Это и означает, что ряд (5.4) сходится. Кроме того, доказано, что 0 S u1 .

Замечание. Если знакочередующейся ряд удовлетворяет условиям теоремы 5.1.7, то нетрудно оценить ошибку, которая получится, если заменить его сумму S частичной суммой Sn. При такой замене отброшенный n-й остаток ряда

( 1)k 1 uk ( 1)n (un 1 un 2 un 3 ...)

k n 1

имеет согласно теореме 5.1.7 сумму, абсолютная величина которой не превосходит un 1 .

Значит, при замене S на Sn абсолютная погрешность не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.

	( 1)		n 1			1	1 ...			( 1)	n 1
Пример 5.1.11. Ряд	( 1)				1	1				( 1)			... сходится по признаку
Пример 5.1.11. Ряд					1	2				n			... сходится по признаку
n 1		n				2	3			n
Лейбница, так как
а) 1	1		1	... ;		б) lim u		n	lim		1	0 ,
	2		3				n	n		n n

причем 0 S 1 , где S – сумма ряда. Сумма n первых членов данного ряда

Sn 1 12 13 14 ... ( 1)n n 1

отличается от суммы ряда S на величину меньшую, чем	( 1)n	1 .

	n 1		n 1

127

Рассмотрим теперь произвольный знакопеременный ряд


un u1 u2	u3 ... un ... ,	(5.5)

n 1

где числа u1 , u2 , u3 , ..., un , ... могут быть как положительными, так и отрицательными, причем

расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Наряду с (5.5) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда


un	u1	u2	u3	... un	... .	(5.6)

n 1

Имеет место следующий признак сходимости.

Теорема 5.1.8. Если ряд (5.6) сходится, то сходится и ряд (5.5).

Эта теорема позволяет свести вопрос о сходимости знакопеременного ряда к исследованию сходимости знакоположительного ряда.

Пример 5.1.12. Исследуем сходимость знакопеременного ряда cos n .

n 1 n3

Так как cos n 1, то

cos3 n 13 . Ряд

сходится

(см. пример 5.1.10),

n 1 n

cos3 n

тоже сходится. Отсюда

следовательно, по признаку сравнения (теорема 5.1.2) ряд

n 1

по теореме 5.1.8 следует сходимость исходного ряда cos3 n .

n 1

Сформулированный выше признак сходимости знакопеременного ряда (теорема 5.1.8) является достаточным, но не необходимым, так как существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так,

	( 1)	n 1
например, ряд			согласно признаку Лейбница сходится (см. пример 5.1.11), а ряд
	n
n 1

1 , составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд).

n 1 n

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся. К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды,

		–
составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся. Например, cos3 n		–
n 1	n

абсолютно сходящийся ряд.

К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Таковым, например, является

ряд ( 1)n 1 , 0 1 .

n 1 n

Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся существенно. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов. Условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают. Можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу.

Для иллюстрации того, что сумма условно сходящегося ряда может меняться при перестановке его членов, рассмотрим следующий пример.

128

					( 1)		n 1
Пример 5.1.13. Ряд					( 1)				сходится условно. Переставим и сгруппируем члены
Пример 5.1.13. Ряд									сходится условно. Переставим и сгруппируем члены
ряда следующим образом:			n 1			n
ряда следующим образом:
				1		1				1		1		1		1	1			1
		1																			...
		1		2		4				3		6		8		5	10		12		...
				2		4				3		6		8		5	10		12
Перепишем ряд в виде
1	1		1		1			1			1				1		1	1			1	1	1
													...			1								...	,
	4		6	8							12		...		2	1	2	3			4	5	6	...	,
2	4		6	8				10			12				2		2	3			4	5	6

т. е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась вдвое.

5.2. Степенные ряды

Решение многих задач математики и ее приложений значительно упрощается, если рассматриваемые функции представлять как ряды, члены которых являются функциями простейшего вида.

5.2.1. Степенной ряд. Область сходимости

Определение 5.2.1. Ряд вида


a0 a1 x a2 x2	a3 x3	... an xn ... an xn	(5.7)

n 0

называется степенным рядом.

Числа a0 , a1 , a2 ,..., an ,... называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая x различные числовые значения, будем получать числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений x, при которых ряд (5.7) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при x = 0.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда Sn (x) a0 a1 x ... an xn является функцией переменной x. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией

переменной x, определенной в области сходимости ряда: S S(x) an xn (или

n 0

f (x) an xn ).

n 0

Сформулируем теорему, имеющую важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.

Теорема 5.2.1 (Теорема Абеля). Если степенной ряд (5.7) сходится при x x0 (x0 0) , то он сходится, и притом абсолютно для всех x, удовлетворяющих условию x x0 ; если ряд (5.7) расходится при x x1 , то он расходится для всех x, удовлетворяющих условию

x x1 .

Терема Абеля утверждает, что если x0 – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках интервала ( x0 , x0 ) этот ряд сходится абсолютно, а если x1 – точка расходимости

степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне отрезка [ x1 , x1 ], ряд расходится.

129

Отсюда следует, что для любого степенного ряда (5.7) существует такое неотрицательное число R, что при x R ряд (5.7) сходится, а при x R – расходится. Вопрос о сходимости

ряда при x R подлежит дальнейшему исследованию, так как при этих значениях переменной может иметь место как сходимость, так и расходимость ряда.

Число R называется радиусом сходимости, а интервал (–R, R) – интервалом сходимости степенного ряда. Таким образом, областью сходимости степенного ряда является один из следующих промежутков: (–R, R), [–R, R), (–R, R], [–R, R].

Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R ), у других вырождается в точку ( R 0 ).

Наряду со степенными рядами вида (5.7) рассматривают также степенные ряды по степеням x a , т. е. ряды вида


a0 a1 (x a) a2 (x a)2	a3 (x a)3	... an (x a)n ... an (x a)n . (5.8)
		n 0

Подстановкой x a t ряд (5.8) приводится к ряду (5.7). Поэтому интервал сходимости ряда

(5.8) имеет вид ( a R , a R ).

На использовании признака Даламбера (теорема 5.1.4) основана следующая теорема, дающая формулу вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Теорема 5.2.2. Если существует предел

lim

an 1

l ,

(5.9)

то радиус сходимости степенного ряда (5.7) или (5.8) находится по формуле R

lim

an 1

При этом R 0 , если l и R ,

если l 0 .

Пример 5.2.1. Найдем область сходимости ряда

Здесь

an 1

n 1

поэтому

n 1

R lim

n 1

lim

lim 1

an 1

Ряд сходится в интервале (–1;1). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости,

т. е. в точках x 1. При	x 1 получаем расходящийся гармонический ряд			, а при
		1
		n 1	n

x 1 ряд ( 1)n , который сходится по признаку Лейбница.

n 1 n

Таким образом, областью сходимости данного ряда является полуинтервал [–1, 1).


Пример 5.2.2. Ряд n! xn	расходится на всей числовой прямой, кроме точки x 0 , так
n 1
как его радиус сходимости
			an		n!		1
R lim			an	lim	n!	lim	1	0 .
R lim		an 1		lim	(n 1)!	lim		0 .
n		an 1		n	(n 1)!	n n 1

Если предел (5.9) не существует, то для вычисления радиуса сходимости можно попытаться применить признак Даламбера непосредственно к степенному ряду.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.201581.23 Кб168.docx
#
20.09.2019105.47 Кб18_beR.doc
#
07.02.2015282.72 Кб399-105.docx
#
06.02.2015219.14 Кб17Abl_BH_Met_Flash.doc
#
06.02.201526.62 Кб14about_myself_1.doc
#
07.02.20152.14 Mб36Ankilov.pdf
#
18.11.2019159.23 Кб3Arkhivovedenie-1.doc
#
13.08.2019157.18 Кб3B7.doc
#
20.12.2018451.58 Кб21Batychko_V_T_Trudovoe_pravo_v_voprosah_i_otveta....doc
#
26.04.2019304.13 Кб2bilety_po_yazykoznaniyu_Vosstanovlen.doc
#
05.08.201967.37 Кб2Bilet_ps.docx