55. Односторонние пределы. Асимптоты кривой: горизонтальные, вертикальные, наклонные.

Под односторонним пределом числовой функции подразумевают «приближение» к предельной точке, с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) (рис. 1) и правосторонним пределом (пределом справа) (рис. 2).

Определение одностороннего предела по Коши:

Число  называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) некоторой функции   в точке  , если для любого числа   существует такое положительное число  , что для всех точек   справедливо неравенство  .

Обозначение:

Число  называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) некоторой функции   в точке  , если для любого числа   существует такое положительное число  , что для всех точек   справедливо неравенство  .

Обозначение:

Определение одностороннего предела по Гейне:

Число    называется правосторонним пределом (или правым пределом, или пределом справа) некоторой функции   в точке  если для всякой последовательности  , , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к  .

Число    называется левосторонним пределом (или левым пределом, или пределом слева) некоторой функции   в точке  если для всякой последовательности  , , сходящейся к  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .

Замечание. Основные свойства односторонних пределов схожи со свойствами обычных пределов.

Теорема. Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Асимптотой кривой  , имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, расстояние которой от точки  , лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном движении вдоль ветви к бесконечности. 

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Вертикальная асимптота

Прямая   является вертикальной асимптотой графика функции  , если выполнено хотя бы одно из условий:

Другими словами, хотя бы один из односторонних пределов в точке x=a должен быть равен бесконечности. 

Наклонная асимптота

Прямая   называется наклонной асимптотой графика функции  , при  , если . Аналогично вводится понятие наклонной асимптоты при  . 

Наклонные асимптоты графика функции   могут быть разными при   и  . Поэтому при нахождении наклонных (или горизонтальных) асимптот оба случая следует рассматривать отдельно.  Коэффициенты  и   наклонной асимптоты   определяются с помощью следующей теоремы:  Для того, чтобы прямая   была асимптотой графика функции   при  , необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела:

и

Горизонтальная асимптота

В частном случае, если , мы получаем горизонтальную асимптоту, которая описывается уравнением  . Теорема о необходимых и достаточных условиях существования горизонтальной асимптоты формулируется таким образом:  Для того, чтобы прямая   была асимптотой графика функции  при  , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел:

Точно также рассматривается случай  .