51. Предел последовательности. Теоремы о пределах последовательности.

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел  , следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого   задается как функция целочисленного аргумента  , то есть  .

Число   называется пределом последовательности  , если для любого числа   существует такой номер  , что при   выполняется неравенство  .

Если число   – это предел последовательности  , то это обозначают как  .

Теоремы числовых последовательностей.

Теорема 1. Числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае числовая последовательность называется расходящейся.

Для сходящихся числовых последовательностей имеют место следующие теоремы.

Теорема 2. Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

Теорема 3. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

Теорема 4. Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

52. Бесконечно малые и бесконечно большие функции в точке и на бесконечности.

Функция   называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при   (или в точке   ), если .

Замечание. Функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке.

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа существует число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают или при .

Функция , заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого числа найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

53. Теоремы о бесконечно малых функциях.

Теоремы о б.м.ф.:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

3. Всякая бесконечно малая функция является ограниченной.

4. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

5. Произведение бесконечно малая функция на число есть функция бесконечно малая.

6. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

7. Если функция   – бесконечно малая, то функция   есть бесконечно большая функция и наоборот.

8. Пусть   - предел функции   в точке  :   . Тогда заданную функцию можно представить в виде  , где   - б.м. функция. Верно и обратное утверждение.

54. Предел функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах.

Определение предела функции в точке.

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение по Коши. Число А называется пределом функцией в точке (или при ), если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывают: .

Геометрический смысл предела функции: , если для любой -окрестности точки найдется такая -окрестность точки , что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки . Иными словами, точки графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , . Очевидно, что величина зависит от выбора , поэтому пишут .

Определение по Гейне. Число А называется пределом функции у = f(x) в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента ( ), сходящейся к (т. е. = ), последовательность соответствующих значений функции , сходится к числу А (т. е. ).

В этом случае пишут или при . Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек , достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа .

Определение предела функции на бесконечности.

Пусть функция у = f(x) определена в промежутке ( ). Число называется пределом функции f(x) при , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Геометрический смысл этого определения таков: для , что при или соответствующие значения функции f(x) попадают в -окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной , ограниченной прямыми и .

Основные теоремы о пределах:

В приводимых теоремах будем считать, что пределы , существуют.

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Следствие. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела . В частности, , .

Теорема 3. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: