86. Достаточные условия существования экстремума в точке.

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки  ;

2.  или   не существует;

3. производная   при переходе через точку   меняет свой знак.

Тогда в точке   функция   имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная   при переходе через точку   не меняет знак, то экстремума в точке   нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию   на экстремум, необходимо:

1. найти производную  ;

2. найти критические точки, то есть такие значения  , в которых   или   не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки  ;

2. первая производная   в точке  ;

3.  в точке   .

Тогда в точке   достигается экстремум, причем, если  , то в точке   функция  имеет минимум; если  , то в точке   функция   достигает максимум.

87. Выпуклость вверх и вниз кривых, достаточные условия выпуклости вверх и вниз.

График функции  , дифференцируемой на интервале  , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала   лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции  , дифференцируемой на интервале  , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала   лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция   определена на интервале   и имеет непрерывную, не равную нулю в точке  вторую производную. Тогда, если   всюду на интервале  , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если  , то функция имеет выпуклость.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

88. Точки перегиба, условия существования у кривых точек перегиба.

Точкой перегиба графика функции   называется точка  , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция   имеет перегиб в точке  , то   или не существует.

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная   непрерывна в окрестности точки  ;

2. вторая производная   или не существует в точке  ;

3.  при переходе через точку   меняет свой знак, тогда в точке   функция   имеет перегиб.

89. Неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла.

Функция   называется первообразной для функции   на промежутке  , конечном или бесконечном, если функция   дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция   является первообразной для функции   на некотором промежутке, то и функция  , где   - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции   на рассматриваемом промежутке.

Таким образом, если функция   имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Каждая функция, которая является первообразной для функции  , может быть представлена в виде  .

∎Неопределённый интеграл.

Совокупность всех первообразных функции  , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции   и обозначается символом  . То есть

Знак   называется интегралом,   - подынтегральным выражением,   - подынтегральной функцией, а   - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции   называется интегрированием функции  . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Свойства неопределённого интеграла:

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

6. Если  , то и  , где функция  - произвольная функция с непрерывной производной.

Основные формулы: