90. Метод интегрирования по частям.

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

При нахождении функции   по ее дифференциалу   можно брать любое значение постоянной интегрирования  , так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать   .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Замечание. В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1)    ;      ;    

Здесь   - многочлен степени   - некоторая константа. В данном случае в качестве функции   берется многочлен, а в качестве   - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется   раз.

2) ; ;    

Здесь принимают, что , а в качестве   оставшиеся сомножители.

3)   ;     

В данном случае в качество   берется либо экспонента, либо тригонометрическая функция. Единственным условием есть то, что при дальнейшем применении формулы интегрирования по частям в качестве функции   берется та же функция, то есть либо экспонента, либо тригонометрическая функция соответственно.

91. Вычисление неопределённых интегралов методом замены переменных.

Интегрирование заменой переменной

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть  , где функция   имеет непрерывную производную  , а между переменными   и   существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Замечание. После нахождения интеграла по новой переменной   необходимо вернуться к первоначальной переменной  .

Замечание. В некоторых случаях целесообразно делать подстановку  , тогда

Следствия из метода интегрирования заменой переменной

Используя метод подстановки, можно получить следующие соотношения для некоторых интегралов, которые рационально использовать уже в конечном виде, а не каждый раз производить вычисления:

то есть

Аналогично можно показать, что

.