61. Второй замечательный предел. Натуральные логарифмы.

Второй замечательный предел:

.

Следствия из второго замечательного предела

1°   

2°   

62. Другие замечательные пределы.

Остальные замечательные пределы (тоже следствия из второго замечательного предела):

1°   

2°   

3°   

4°   

63. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть, и есть б.м.ф. при , т. е. lim а(х) = х-+хо =0 И lim (З(х) =0. х-+хо

1. Если , то называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если , то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β.

3. Если , то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β.

4. Если не существует, то α и β называются несравнимыми бесконечно малыми.

Если  , то б.м. функции   и   называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при  :   при  .

Основные теоремы об эквивалентных б.м.:

1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Таблица эквивалентных б.м. функций при 

64. Производная. Геометрический и физический смысл производной.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Итак, по определению

или .

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Функция   имеет производную на интервале   или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная   существует в каждой точке этого интервала.

Геометрический смысл производной:

Производная в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .

Физический смысл производной:

Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.

65. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением  , то уравнение касательной к ней в точке   имеет вид:

,

а уравнение нормали:

.

66. Дифференцируемая функция. Свойства.

67. Дифференциал, его геометрический смысл, инвариантность формы дифференциала.

Дифференциалом функции в точке называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

.

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Формулу можно еще записать как: .

Иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала:

Дифференциал функции y=f(x) в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

Инвариантность формы дифференциала.

Формула дифференциала функции имеет вид

,

где   - дифференциал  независимой переменной.

Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция  , где  ,  . Тогда по формуле производной сложной функции находим

,

так как  .

Итак,  , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменной   и для промежуточного аргумента  , представляющего собой дифференцируемую функцию от  .

Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала. Заметим, что производная этим свойством не обладает.

68. Производная и дифференциал от суммы и разности.

Дифференциал суммы/разности.

Дифференциал суммы/разности функций равен суме/разности дифференциалов от каждого из слагаемых.

.

Производная суммы/разности.

Производная разности равна разности производных.

.

69. Производная и дифференциал от произведения.

Дифференциал произведения.

.

 Производная произведения.

.

70. Производная и дифференциал от частного.

Дифференциал частного.

Производная частного.

71. Сложная функция. Непрерывность и дифференцирование сложной функции.

Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Теорема о непрерывности сложной функций

Пусть функция   непрерывна в точке   и функция   непрерывна в точке  . Тогда функция   непрерывна в точке  .

Дифференцирование сложной функции производится с использованием формулы:

.