20. Смешанное произведение и его свойства. Условие компланарности векторов.

Условие компланарности векторов:

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

________________________________

Смешанным произведением трех векторов  ,  ,   называется число, равное скалярному произведению вектора   на вектор  : 

Свойства смешанного произведения:

1°    

2°    

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда  . Если же  , то векторы  ,   и   образуют левую тройку векторов.

5°    

6°         

7°    

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов   правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах:  . В случае левой тройки   смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус:  . Если  ,   и   компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и   равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

21. Декартова система координат. Полярная система координат. Связь между ними.

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов.

Декартова (прямоугольная) система координат на плоскости за­дается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями. Систему координат обозначают Оху (или ), а плоскость, в ко­ торой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Полярная система координат задается точкой, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч Ор. Числа и называются полярными координатами точки М, пишут ,при этом называют полярным радиусом, -

полярным углом.

Связь между системами координат.

Прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

Определяя величину , следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

22. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между двумя точками.

Если известны две точки плоскости , , то координаты точки , которая делит отрезок  в отношении , выражаются формулами:

,

Расстояние между точками и равно длине вектора , т.е.

.

23. Уравнение прямой в общем виду и через угловой коэффициент.

У равнение прямой через угловой коэффициент:

,

где — угловой коэффициент, — некоторое действительное число.

Уравнение прямой в общем виде:

,

где — произвольные числа, причем и не равны нулю одновременно.

24. Прямая, проходящая через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении:

Уравнение прямой, проходящей через точки и :

25. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности прямых.

Если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , то угол между данными прямыми находится по формуле

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Условием перпендикулярности двух прямых является равенство .

26. Уравнение прямой в отрезках. Векторно-параметрическое и параметрическое уравнения прямой.

П усть прямая пересекает ось в точке , а ось – в точке (см. рис.). В этом случае уравнение прямой через две точки (см. выше) примет вид

Параметрическое уравнение прямой в плоскости:

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор  этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой:

27. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от начала координат до прямой.

Пусть заданы прямая уравнением и точка (см. рис.). Расстояние от точки до прямой рассчитывается по формуле

Расстояние от начала координат рассчитывается по формуле

28. Эллипс.

Э ллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

— большая полуось;

— малая полуось;

— фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);

— фокальный параметр;

— перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

— апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

, — фокусы;

— эксцентриситет.

Соотношения:

;

;

.

Каноническое уравнение эллипса:

П араметрическое уравнение эллипса:

Прямые называются директрисами.

Теорема: если — расстояние от произвольной точки

эллипса до какого-нибудь фокуса, — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .