72. Обратная функция. Теорема о существовании обратной функции. Производная обратной ф-ии.

Обратная функция.  Пусть на множестве   определена функция  и   – множество ее значений. Определим новую функцию,  которая определена на множестве Е и каждому значению у ставит в соответствие то самое значение х из множества  , для которого  . Эта новая функция  называется функцией, обратной к функции  Таким образом, для нахождения функции, обратной к функции  , надо решить уравнение  относительно  .

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Поэтому графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Производная обратной ф-ии:

Рассмотрим функцию  , которая является строго монотонной на некотором интервале  . Если в этом интервале существует точка  , такая, что  , то функция  , обратная к функции  , также дифференцируема в точке   и ее производная равна

73. Функции, заданные параметрически. Их дифференцирование.

Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде двух уравнений

где - вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную , считая, что функции имеют производные и что функция имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию , определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где . По правилу дифференцирования сложной функции имеем: . С учетом второго равенства получаем:

т.е. .

Полученная формула позволяет находить производную от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости от .

74. Степенно-показательная функция, её непрерывность и дифференцирование.

Степенно-показательной называется функция вида , например , и др.

Метод логарифмического дифференцирования позволяет легко найти производную этой функции. Логарифмируя обе части , получаем и, дифференцируя обе части по правилу дифференцирования сложной функции, имеем:

, выражаем .

75. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков

Если функция   имеет производную в каждой точке   своей области определения, то ее производная   есть функция от  . Функция  , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции    (или второй производной) и обозначают символом  . Таким образом

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная  -го порядка функции   есть первая производная от производной -го порядка этой функции:

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

где  ,   - факториал натурального числа  .

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция   зависит от переменной   и дифференцируема в точке  . Может оказаться, что в точке   дифференциал  , рассматриваемый как функция от  , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала   данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции  . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Дифференциалом  -го порядка   функции  называется дифференциал от дифференциала  -го порядка этой функции, то есть

76. Дифференцирование постоянной и степенной функции.

Дифференцирование постоянной функции

Если , где , то .

Дифференцирование степенной функции

.

77. Дифференцирование показательной и логарифмической функции.

Дифференцирование показательной функции.

Дифференцирование логарифмической функции.

78. Дифференцирование тригонометрических функций.

79. Дифференцирование обратных тригонометрических функций.

80. Теорема Ролля. Геометрический смысл.

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  ;

3. на концах отрезка   принимает равные значения  .

Тогда на интервале   найдется, по крайней мере, одна точка  , в которой  .

(Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Эта теорема – частный случай теоремы Лагранжа, когда .