Метод Гаусса решения систем уравнений.
Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.
Метод Гаусса работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.
Смысл состоит в том, чтобы привести расширенную матрицу сначала к ступенчатому виду (получить нули под главной диагональю, а затем воспользоваться методом Гаусса-Жордана и получить в левой части расширенной матрицы единичную матрицу. Тогда в правой части останется решение данной системы линейных уравнений.
Какие преобразования можно делать с матрицей:
Менять строки местами
Умножать все элемента строки на какое-либо число, не равное нулю
Прибавлять к элементам одной строки соответствующие элементы другой строки, умноженные на любой множитель
Вычеркивать строки, в которой все элементы равны нулю
Вычеркивать повторяющиеся строки (оставив одну из них, т.е. если две одинаковые строки, то можно одну вычеркнуть)
Метод Гаусса-Жордана решения систем уравнений.
Это метод
приведения ступенчатой матрицы
к единичной, просто пример:
Однородные системы уравнений.
Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю: Матричный вид однородной системы: Ax=0.Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение, нулевое (или тривиальное): x1=0, x2=0, ..., xn=0.
Однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение, если ранг матрицы системы равен количеству переменных.
Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатому виду. (когда под главной диагональю только нули)
Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами.
Скалярная величина (скаляр) – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение. Скалярная величина может быть положительной или отрицательной. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия. Векторная величина (вектор) – это физическая величина, которая имеет две характеристики – модуль и направление в пространстве. Вектор – направленный отрезок.
Два вектора считаются равными, если у них совпадает направление и длина. Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и имеют одинаковое направление.
Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.
Два вектора называются ортогональными (перпендик.), если они лежат на перпендикулярных прямых
Два
вектора называются коллинеарными
||
||
Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения векторов на число.
Правило треугольника:
Сложение
векторов
и
осуществляется
по правилу
треугольника.
Суммой 
двух
векторов
и
называют
такой третий вектор 
,
начало которого совпадает с началом
,
а конец - с концом
при
условии, что конец вектора
и
начало вектора
совпадают.
Правило параллелограмма:
Если два
неколлинеарных
и
вектора привести к общему началу, то
вектор
совпадает с диагональю параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
При чем начало вектора
совпадает
с началом заданных векторов.
Для того чтобы сложить два вектора, следует сложить соответствующие координаты.
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
-
коммутативность
-
ассоциативность
Для того чтобы из одного вектора вычесть другой, следует вычесть соответствующие координаты.
Разностью
векторов
называется вектор такой, что выполняется
условие:
Умножение вектора на число.
Для того чтобы умножить вектор на число, следует каждую координату умножить на это число.
Произведением
вектора
на число
называется вектор
,
удовлетворяющий
условиям:
,
,
если
.
Свойства умножения вектора на число:
Здесь
и
– произвольные векторы,
– произвольные числа.