37. Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях , и соответственно отрезки , и , т. е. проходит через три точки , и . Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Раскрыв определитель, имеем , т. е. или

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскостей.

38. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка и плоскость своим уравнением . Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

39. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Пусть заданы две плоскости и :

Под углом между плоскостями и понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Угол φ между нормальными векторами и плоскостей и равен одному из этих углов

Поэтому или

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости и перпендикулярны, то таковы же их нормали т.е. (и наоборот). Но тогда , т.е. . Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей и .

Если плоскости и параллельны, то будут параллельны и их нормали (и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: . Это и есть условие параллельности двух плоскостей и .

40. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть - направляющий вектор прямой и - точка, лежащая на этой прямой. Вектор , соединяющий точку с произвольной точкой прямой , параллелен вектору . Поэтому координаты вектора и вектора пропорциональны:

Эти уравнения называется каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечания: 1) Уравнения можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой, исключив параметр . Из них находим:

2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений означает обращение в нуль соответствующего числителя.

41. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Пусть прямая проходит через точки и . В качестве направляющего вектора можно взять вектор , т. е. . Следовательно, · Поскольку прямая проходит через точку , то, согласно каноническому уравнению прямой , уравнения прямой имеют вид

42. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

Векторное уравнение прямой , отметив что , , , можно записать в виде:

.

Отсюда следуют равенства:

Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

43. Угол между двумя прямыми.

Пусть прямые и заданы уравнениями

и .

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами и . Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем или

Для нахождения острого угла между прямыми и числитель правой части формулы следует взять по модулю.

44. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Если прямые и перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем . Следовательно, числитель дроби (из формулы угла между прямыми) равен нулю, т, е. .

Если прямые и , параллельны, то параллельны их направляющие векторы и . Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

45. Угол между прямой и плоскостью в пространстве.

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая уравнениями .

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через φ угол между плоскостью и прямой , а через - угол между векторами и (рис 1.). Тогда . Найдем синус угла φ, считая . И так как , получаем

46. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая параллельна плоскости , то векторы и перпендикулярны, а потому , т. е.

является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и параллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства

являются условием перпендикулярности прямой и плоскости.

47. Высказывания. Операции над высказываниями.

Под высказыванием понимается такое выражение, которое либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Операции над высказываниями:

• Отрицание (логическое “НЕ”) высказывания — высказывание, обозначаемое , которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда истинно.

Отрицающие друг друга высказывания и называются противоположными.

0	1
1	0

• Конъюнкция (логическое “И”, логическое умножение) высказываний и — высказывание, обозначаемое , которое истинно, когда оба высказывания и истинны.

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

• Дизъюнкция (логическое “ИЛИ”, логическое сложение) высказываний и — высказывание , которое истинно, когда хотя бы одно из высказываний истинно, и ложно, когда оба высказывания ложны.

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

• Импликация высказываний и — высказывание , которое ложно, когда высказывание истинно, а — ложно. В высказывании высказывание называется посылкой или антецедентом, а высказывание — следствием или консеквентом. По своему применению высказывание приближено к союзам “если…, то…”

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

• Эквивалентность (логическая равнозначность) высказываний и — высказывание (иногда обозначается ), которое истинно, когда одновременно оба высказывания и либо истинны, либо ложны.

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1