56. Непрерывность в точке. Точки разрыва функции.

Функция   называется непрерывной в точке  , если:

1. Функция   определена в точке  и ее окрестности;

2. Существует конечный предел функции   в точке  ;

3. Это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

∎Точки разрыва ф-ии.

Точка  , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция   определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. это предел равен значению функции в точке  , т.е.

называется точкой разрыва функции.

∎Если в точке   существуют конечные пределы  такие, что то точка   называется точкой разрыва первого рода.

∎Если хотя б один из пределов   или   не существует или равен бесконечности, то точка   называется точкой разрыва второго рода.

∎Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции   в точке  :   или функция   не определена в точке  , то точка   называется точкой устранимого разрыва.

57. Свойства непрерывных функций, непрерывность сложной, обратной функции.

Свойства непрерывных ф-ий:

1. Если функции   и  непрерывны в точке , то функции  ,  , также непрерывны в точке  .

2. Пусть функция   непрерывна в точке  , а функция   непрерывна в точке  . Тогда композиция функций   непрерывна в точке  .

3. Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

4. При нахождении предела функции  которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Теорема. Пусть функции непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в

точке .

Теорема. Если функция непрерывна и строго монотонна на оси , то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси .

58. Непрерывность функций на промежутке. Теорема Коши и Вейерштрассе.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

∎Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

Следствие. Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

∎Теорема Больцано-Коши. Если функция   является непрерывной на отрезке   и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть  ,  , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между   и  .

Следствие. Если функция  , которая непрерывна на некотором отрезке  , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка   такая, что  .

59. Первый замечательный предел.

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю:

Следствия из первого замечательного предела:

1°   

2°  

3°   

4°   

60. Теорема о существовании предела .

Как известно, предел числовой последовательности , , имеет предел, равный :

.

Докажем, что к числу стремится и функция при :

.

Пусть . Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: , где - это целая часть . Отсюда следует

,

, поэтому

Если , то . Поэтому, согласно второму замечательному, имеем:

По теореме о 2-х милиционерах:

.