29. Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

— расстояние от центра гиперболы до ее вершин (большая полуось; расстояние между двумя вершинами называется большой осью гиперболы);

— прицельный параметр (расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы);

— директрисы;

— фокусы;

— фокальное расстояние

— перицентрическое расстояние (расстояние от фокуса до ближайшей вершины)

Соотношения:

;

;

;

;

;

;

.

Каноническое уравнение гиперболы:

Асимптоты

Гипербола имеет две асимптоты:

Уравнение равносторонней гиперболы:

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны ( . Ее каноническое уравнение:

30. Парабола.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через .

Общее уравнение параболы:

Каноническое уравнение параболы:

31. Преобразование уравнения прямой второго порядка при параллельном переносе осей и при повороте осей.

Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат к новой системе , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

П усть начало новой системы координат точка имеет координаты в старой системе координат , т.е. . Обозначим координаты произвольной точки плоскости системе через , а в новой системе через . Тогда

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

П усть новая система получена поворотом системы на угол . Пусть — произвольная точка плоскости, — ее координаты в старой системе и — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом и полярными осями и (масштаб одинаков). Полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны и , где — полярный угол в новой полярной системе. Получаем

Е сли новая система координат получена из старой путем параллельного переноса осей координат с последующим поворотом осей на угол , то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

32. Нормальное уравнение плоскости.

П оложение плоскости вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра , опущенного на плоскости из начала координат, и длиной этого перпендикуляра. Пусть , а — углы, образованные единичным вектором с осями . Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки M на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно : , т.е. или — нормальное уравнение плоскости в векторной форме.

Зная координаты векторов и , уравнение перепишем в виде: — нормальное уравнение плоскости в координатной форме.

33. Общее уравнение плоскости и приведение его к нормальному.

Общее уравнение плоскости:

Чтобы привести общее уравнение к нормальному, нужно умножить обе части общего уравнения на номинирующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена общего уравнения плоскости.

34. Уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно двум неколлинеарным векторам.

У равнение плоскости, проходящей через точку , параллельно неколлинеарным векторам и :

В векторной форме:

В координатной форме:

35. Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно вектору.

Пусть плоскость α проходит через две точки  и  параллельно вектору  .

 

Возьмем на плоскости α произвольную точку  . Векторы  и  .

Векторы  ,  и  компланарны, а значит , т.е.

.

Данное уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору.

36. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости , проходящей через три данные точки , и , не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости , следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем , т.е.

.

Это уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.