Зміст теоретичного матеріалу

1. Коло

Колом називається множина точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки - центра кола. Рівняння кола в загальному вигляді: , де A,B,C,D – постійні коефіцієнти.

К анонічне рівняння кола , де R – радіус кола.

Рис. 1

Зауваження. Якщо центр кола розміщений у початку координат, то рівняння кола має вигляд:

Приклад 1. Скласти рівняння кола з центром у точці (5; -7), що проходить через точку (2; -3).

Розв'язання

Знайдемо радіус кола як відстань між двома точками: .

Отже, - шукане рівняння кола.

Відповідь: .

2. Еліпс, ексцентриситет еліпса.

Е ліпсом називається множина точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок тієї площини (фокусів) є величина стала (дорівнює 2а) і більша за відстань між цими точками (2c).

Рис. 2

Канонічне рівняння еліпса: , де параметри а і b дорівнюють півосям еліпса, що розташовані на осях координат ОХ та ОY відповідно.

• - фокальні радіус-вектори (відстань від точки еліпса до його фокусів): , , ;

• , - лівий та правий фокуси еліпса; , де

Зауваження. Якщо а < b, то фокуси розташовані на осі oy .

• , , , - вершини еліпса.

- ексцентриситет (характеризує міру стиснення еліпса).

• - рівняння директрис.

• - осі еліпса.

Приклад 2. Скласти канонічне рівняння еліпса, який про­ходить через точку М(5; 0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.

Розв'язання

, . Точка М(5; 0) належить еліпсу, тому , , , .

Отже, - шукане рівняння.

Відповідь: .

3. Гіпербола, асимптоти гіперболи.

Г іперболою називають множину точок площини, для кожної з яких абсолютна величина різниці віддалей до двох точок тієї ж площини (фокусів) є величина стала ( дорівнює 2а) і мен­ша за відстань між цими точками (2с)

Рис. 3

Канонічне рівняння гіперболи: , - лівий та правий фокуси гіперболи,

• , - дійсні вершини гіперболи, , - уявні вершини гіперболи

• - дійсна вісь гіперболи, - уявна вісь гіперболи

• - фокальні радіуси, .

• - ексцентриситет.

• - асимптоти гіперболи

Для побудови асимптот будують осьовий прямокутник гіперболи зі сторонами х =а, х = -а, у = b, у = -b. Діагоналі цього прямокутника є асимптотами.

Зауваження. - рівняння гіперболи, дійсною віссю якої є відрізок осі oy довжиною 2b.

4. Парабола, директриса параболи.

П араболою називають множину точок площини, рівновіддалених від даної точки - фокуса і даної прямої - директриси. Канонічне рівняння параболи: , де р- відстань від фокуса до директриси.

Рис. 4

• - фокус,

• - фокальний радіус,

• - рівняння директриси,

• - ексцентриситет,

• - вершини параболи,

• вісь Ох – вісь симетрії.

Зауваження. Якщо віссю симетрії параболи є вісь Оу, то рівняння параболи , де , .

ЗАВДАННЯ: законспектувати запитання плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання згідно отриманого варіанту.