Контрольні питання:

1. Що таке точки локального екстремуму функції двох змінних?

2. Як формулюються необхідні умови локального екстремуму функції двох змінних?

3. Як знайти критичні точки функції двох змінних?

4. Як формулюються достатні умови локального екстремуму функції двох змінних?

5. За яким алгоритмом досліджують функцію двох змінних на екстремум?

Контрольні завдання

1. Знайти екстремуми функцій:

А) z = x⁴ + y² – 2x² + 4xy – 4y²

Б) z = + 4

2. Знайти умовний екстремум функцій за слідуючими даними:

А) z = x² + 2xy + y² – 4x + 8y; 2x – 3y = 6

Б) z = x⁴ + y⁴ + 2x²y² - 4x ; x – y² = 10.

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.

Самостійна робота № 15 (4 год.)

ТЕМА: Невизначений та визначений інтеграли. Інтегрування підстановкою та частинами

МЕТА: знати поняття невизначеного та визначеного інтегралів, правила інтегрування, основні методи інтегрування; вміти знаходити інтеграли, використовуючи таблицю інтегралів та основні методи інтегрування (метод безпосереднього інтегрування, заміни змінної, інтегрування частинами, інтегрування раціональних виразів).

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 268-295.

2 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. - 6-е изд. перераб. и доп. / Н.В.Богомолов. – М.: Высшая школа, 2003. - 495 с. – С. 188-193, 198-211.

3 Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 508-533, 543-548.

4 Овчинников П. П. Вища математика. Збірник задач: Навч. посіб. для студ. вищ. техн. навч. закл.:У 2 ч. Ч. 1. Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне та інтегральне числення / Х. І. Гаврильченко, С. П. Полушкін, П. С. Кропив'янський та ін.; ред.: П. П. Овчинников. - 2-е вид., стереотип.. - К. : Техніка, 2004. - 279 с. – С. 179-190, 197-204, 235-237.

ПЛАН

1. Метод безпосереднього інтегрування

2. Метод заміни змінної (підстановки)

3. Метод інтегрування частинами

4. Інтегрування раціональних дробів

5. Обчислення визначених інтегралів

Зміст теоретичного матеріалу

1. Метод безпосереднього інтегрування

При безпосередньому інтегруванні використовується формула варіанта заміни змінної, але саму заміну не записують (її роблять усно) при цьому використовують операцію внесення функції під знак диференціала. Отже, якщо , то

Зокрема, коли (х) є лінійною функцією, тобто , дістаємо: .

Зауваження. Під знак диференціала можна вносити будь-який сталий доданок (значення диференціала при цьому не зміниться):

.

Приклад.

2. Метод заміни змінної (підстановки)

Мета методу підстановки — перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщо f(x) - неперервна, а має неперервну похідну, то:

Наслідок.

Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не залежить від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи сама є функцією (на підставі інваріантності форми запису пер­шого диференціалу), тому, наприклад:

У такому розумінні слід розглядати і всю таблицю інтегралів.

Приклад.

Варіант заміни змінної інтегрування зручний тоді, коли підінтегральний вираз можна розкласти на два множники: та ..

Приклад. .

Для деяких класів підінтегральних функцій розроблено стандартні заміни. Вибір зручної підстановки визначається знанням стандартних підстановок та досвідом.

3. Метод інтегрування частинами

Теорема. Якщо функції u(x) та v(x) мають неперервні похідні, то:

На практиці функції u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом:

- при інтегруванні частинами підінтегральний вираз розбивають на два множники типу udv, тобто ; при цьому функція u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалась, а за dv беруть залишок підінтегрального виразу, який містить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Приклад.

Інколи доводиться інтегрування частинами застосовувати кілька разів, що ілюструє такий приклад.

Далі наведено деякі типи інтегралів, при інтегруванні яких застосовують метод інтегрування частинами та показано вибір функцій u(x) та v(x): ; ;

; ; ; ,

де P(x) - многочлен, Q(x) - алгебраїчна функція, a  R.

У деяких випадках після інтегрування частинами інтеграла одержується рівняння, із якого знаходять шуканий інтеграл.

Приклад.

Отже, дістали рівняння , із якого знаходимо .

4. Інтегрування раціональних дробів

Означення. Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.

Означення. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена в чисельнику менший від степеня многочлена в знаменнику, тобто n < m; якщо n  m, то дріб називається неправильним.

Теорема. Будь-який неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена (цілої частини) та правильного раціонального дробу.

Означення. За домовленістю найпростішими раціональними дробами називаються такі дроби чотирьох типів:

І. ; ІІ. ; ІІІ. ; IV. ,

де , інтеграли від яких мають вигляд

І. ;

ІІ. ;

ІІІ. );

IV. - інтегрується за допомогою рекурентних формул.

Теорема. Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченної кількості найпростіших дробів, використовуючи такі правила: