Зміст теоретичного матеріалу

1. Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку.

Диференціальні рівняння, в яких відсутня функція у(х)

ДР не містить шуканої функції у. Отже, можна знизити порядок рівняння, узявши y = z, y = z. При цьому дістанемо ДР першого порядку F(x, z, z) = 0. Якщо буде знайдено загальний розв’язок цього рівняння z = z(x, C₁), то знайдемо і розв’язок ДР: у = z(x, C₁)dx + C₂.

Приклад 1. Знайдемо розв’язок ДР у + у = 0.

Розв’язання

Беручи у = z, у = z, знижуємо порядок ДР і приходимо до ДР першого порядку z + z = 0.

Знаходимо розв’язок ДР першого порядку: , ,

Інтегруючи z, знаходимо загальний розв’язок ДР другого порядку .

Відповідь:

Диференціальні рівняння, які не містять явно аргументу.

Порядок ДР F(y, y, y) = 0 можна знизити, якщо за нову незалежну змінну взяти у, а за шукану залежну змінну: z = y. Маємо:

Початкове ДР другого порядку зводиться до ДР першого порядку

Якщо буде знайдено розв’язок цього рівняння z = z(y, C₁), то для відшукання загального розв’язку початкового ДР дістанемо рівняння

Приклад 2. Знайдемо загальний розв’язок ДР другого порядку у + ²у = 0,  = const.

Розв’язання

Беручи у = z, дістаємо і приходимо до ДР першого порядку:

Визначаємо змінну і для відшукання у приходимо до ДР першого порядку

Остаточно знаходимо загальний розв’язок початкового ДР який можна записати також у вигляді у = Аsin (x – x₀), A = const, x₀ = const.

Відповідь: у = Аsin (x – x₀), A = const, x₀ = const.

Диференціальні рівняння однорідні відносно шуканої функції і її похідних.

Якщо для ДР F(x, y, y, y) = 0 виконано рівність F(x, ty, ty, ty) = t^mF(x, y, y, y), то ДР називається однорідним відносно шуканої функції і її похідних. При цьому порядок ДР можна знизити, якщо взяти y = yz, y = yz + yz= yz² + yz = y(z + z²).

Початкове рівняння набирає вигляду F(x, y, yz, y(z + z²)) = у^mF(x, 1, z, z + z²) = 0,

тобто зводиться до ДР першого порядку F(x, 1, z, z + z²) = 0.

Якщо буде знайдено розв’язок цього ДР z = z(y, C₁), то можна знайти у з рівняння:

Приклад 3. Знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР уу + уу = 0.

Розв’язання

Застосовуючи заміну , приходимо до ДР першого порядку

Остаточно знаходимо у із ДР:

_{Відповідь:}

2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Загальний вигляд лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь наступний .

Властивість 1. Якщо - розв’язок лінійного однорідного рівняння, - розв’язок неоднорідного рівняння, то буде розв’язком лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Властивість 2 (принцип суперпозиції). Якщо - розв’язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь , , то з довільними сталими буде розв’язком лінійного неоднорідного рівняння

Властивість 3. Якщо комплексна функція з дійсними елементами є розв’язком лінійного неоднорідного рівняння з комплексною правою частиною , то дійсна частина є розв’язком рівняння з правою частиною , а уявна є розв’язком рівняння з правою частиною .

Теорема. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається з загального розв’язку лінійного однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але сталі вважаються невідомими функціями. Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння записано у вигляді .

Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді , де - невідомі функції. Оскільки підбором - функцій необхідно задовольнити одному рівнянню, тобто одній умові, то умову можна накласти довільно. Розглянемо першу похідну від записаного розв’язку і зажадаємо, щоб . Розглянемо другу похідну і зажадаємо, щоб . Продовжимо процес взяття похідних до -ї і зажадаємо, щоб . На цьому - умова вичерпалася. І для -ї похідної справедливо .

Підставимо взяту функцію та її похідні в неоднорідне диференціальне рівняння Оскільки - розв’язок однорідного диференціального рівняння, то після скорочення одержимо -у умову

Додаючи перші - умови, одержимо систему

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок

І загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння запишеться у вигляді ,

де - довільні сталі, а .

Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку і загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд , то частинний розв’язок неоднорідного має вигляд . І для знаходження функцій маємо систему

Звідси , .

І одержуємо з обчисленими функціями і .

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання

Загальний розв’язок складається з суми загального розв’язку однорідного та частинного розв’язку неоднорідного рівнянь.

Розглянемо однорідне рівняння .

Його характеристичне рівняння має вигляд .

Його коренями будуть , . І загальний розв’язок однорідного має вигляд .

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо методом варіації довільної сталої у вигляді . Для знаходження функцій отримаємо систему

Звідси

Поклавши (для зручності) , , одержимо .

Загальний розв’язок має вигляд .

Відповідь:

ЗАВДАННЯ: законспектувати питання плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати індивідуальні завдання.