1) То у стаціонарній точці функція має екстремум: - точка максимуму; - точка мінімуму;

2) - у точці функція не має екстремуму;

3) - сумнівний випадок.

Приклад 1. Дослідити функцію на екстремум.

Розв’язання

1. Знаходимо частинні похідні першого порядку: ,

2. Розв’язавши систему рівнянь

знаходимо стаціонарні точки і

3. Обчислюємо частинні похідні другого порядку: ,

4. У точці визначники ∆₁ і ∆₂ відповідно такі: ∆₁ = 6 > 0,

У точці маємо: ∆₁ = – 6,

5. Отже, за теоремою точка є точкою мінімуму; у точці екстремуму немає.

Обчислюємо значення функції в точці мінімуму:

.

Відповідь: .

3. Знаходження умовних екстремумів

Нехай на відкритій множині задано функції

і нехай Е - множина точок, координати яких задовольняють рівняння

Ці рівняння називаються рівняннями зв’язку, або обмеженнями.

Точка називається точкою умовного максимуму функції відносно рівняння зв’язку, якщо існує такий окіл точки х⁰, для всіх точок якого, що задовольняють рівняння зв’язку, виконується нерівність:

Якщо за цих умов виконується нерівність

то точку називають точкою умовного мінімуму функції при обмеженнях.

Приклад 2. Функція z=xy відносно рівняння зв’язку у точці (0, 0) має умовний мінімум, бо z=(0, 0)=0, а в точках (, ), що задовольняють рівняння зв’язку, значення функції додатні.

Точки умовного максимуму і мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум називають іноді відносним екстремумом.

Геометрична інтерпретація

Рис. 2

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму

Якщо рівняння зв’язку , , можна розв’язати відносно m змінних, наприклад, відносно змінних :

……………………

,

то дослідження функції на умовний екстремум при обмеженнях зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функції змінних :

.

Приклад 3.Знайти умовний екстремум функції відносно рівнянь зв’язку: ,

Розв’язання

Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінних x i y: ,

Підставимо знайдені значення x i y у вираз для u та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції

, , якщо ;

тому — точка максимуму функції.

Отже, задана функція у точці має умовний максимум, що дорівнює

Віжповідь:

Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму

Нехай функції , , , неперервно диференційовні в околі точки і ранг матриці Якобі у цій точці дорівнює m.

Функцію називають функцією Лагранжа, параметри — множниками Лагранжа.

Теорема. (Необхідна умова існування умовного екстремуму). Для того щоб точка була точкою умовного екстремуму функції при рівняннях зв’язку , необхідно, щоб її координати при деяких значеннях задовольняли систему рівнянь:

Ці умови означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв’язку.

Теорема. (Достатня умова умовного екстремуму.) Нехай функції , , , двічі неперервно диференційовні в околі точки і нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функції при обмеженнях.

Тоді в разі виконання умов другий диференціал функції Лагранжа є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою. А це означає, що функція у точці має умовний строгий мінімум (максимум).

Якщо за умов другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає.

Приклад 4. Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв’язку .

Розв’язання

Функції u і  двічі неперервно диференційовні. Ранг матриці Якобі в даному разі дорівнює 1 у всіх точках, що задовольняють рівняння зв’язку. Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа .

Згідно з необхідними умовами дістанемо систему

з якої знайдемо , при і , при . Отже, функція u може мати умовний екстремум лише у двох точках: і . Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа: ; , , звідки .

Знайдемо перший диференціал функції : У точках і диференціали і , пов’язані рівністю: , або .

У разі виконання цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці є додатно визначеною квадратичною формою , а в точці - від’ємно визначеною формою .

Отже, функція u в точці має умовний мінімум, а в точці - умовний максимум.

Відповідь: в точці функція має умовний мінімум, а в точці - умовний максимум

ЗАВДАННЯ: законспектувати 3 питання плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання.