Зміст теоретичного матеріалу

1 Елементи комбінаторики

Множина називається підмножиною множини , якщо множина складається з деяких елементів даної множини (і лише з них). Позначається: . Читається: міститься в .

Якщо дорівнює , то вживається символ . Знак називається знаком нестрогого включення, а знак - знаком строгого включення.

Комбінаторика – це розділ математики, в якому розглядають комбінації скінченної кількості елементів та обчислюють число усіх можливих таких комбінацій.

Основні поняття комбінаторики: перестановки, розміщення, комбінації.

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Р_n.

Таким чином, перестановки з n елементів відрізняються між собою лише порядком елементів.

Добуток натуральних чисел від 1 до даного натурального числа n називається факторіалом числа n і позначається n!

А скільки m-елементних упорядкованих підмножин можна утворити з n різних елементів, якщо n т? Такі упорядковані підмножини називають розміщеннями з n елементів по т елементів.

Будь-яка впорядкована підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, де т n називається розміщенням з n елементів по т елементів.

Число розміщень з n елементів по т позначають символом .

тобто число розміщень з п елементів по m дорівнює добутку т послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n.

Якщо п=т, то маємо =Р_n тобто перестановка — окремий випадок розміщення.

Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т елементів.

Число комбінацій з n елементів по т дорівнює дробу, чисельник якого е добуток т послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n, а знаменник дробу — добуток т послідовних натуральних чисел.

Враховуючи, що можна одержати . Отже,

2 Знаходження ймовірностей подій

Теорія ймовірностей – математична наука, яка вивчає закономірності у випадкових подіях.

Первісним поняттям теорії ймовірності є поняття події.

Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов. Події позначаються великими буквами латинського алфавіту: А, В, С... Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду).

Випробування (дослід) — це умови, в результаті яких відбувається (чи не відбувається) подія.

Наприклад, випробування — підкидання монети, події: А — «поява герба», В — «поява цифри»; випробування — підкидання кубика, події: А — «поява 1 очка», В — «поява 2 очок», С — «поява 3 очок», D — «поява 4 очок», Е — «поява 5 очок»,G — «поява 6 очок».

Випадковою подією називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування.

Наприклад: під час витягування навмання однієї карти з колоди ви взяли короля. Подія А — «взято короля» є випадковою.

Випадкові події можуть бути масовими та одиничними.

Масовими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов, які можуть бути відтворені (можна спостерігати) необмежену кількість разів.

Наприклад, влучення або промах в серії пострілів; поява бракованих деталей при серійному випуску; радіоактивний розпад атомів речовин і т. д.

Прикладом одиничної випадкової події є падіння Тунгуського метеорита.

Теорія ймовірностей вивчає лише масові випадкові величини.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов'язково відбудеться.

Наприклад, подія А — «поява на одній із граней грального кубика натурального числа, меншого за 7» — є вірогідною.

Неможливою називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

Наприклад, подія А — «поява на одній із граней грального кубика цифри 7».

Повною групою подій називається множина подій таких, що в результаті кожного випробування обов'язково повинна відбутися хоча б одна із них.

Наприклад: у випробуванні — кидання грального кубика повну групу подій становлять події:

А₁ — «поява числа 1»;

А₂ — «поява числа 2»;

А₃ — «поява числа 3»;

А₄ — «поява числа 4»;

А₅ — «поява числа 5»;

A₆ — «поява числа 6»,

або події:

В₁ — «поява парного числа»;

В₂ — «поява непарного числа».

Попарно несумісні події — це події, дві з яких не можуть відбуватися разом.

Наприклад, попадання і промах при одному пострілі — це дві несумісні події; поява цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одному киданні грального кубика — це шість несумісних подій.

Рівноможливі події — це такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Наприклад, поява цифр 1, 2, 3,4, 5, 6 при киданні грального кубика — рівноможливі події.

Якщо події:

1) утворюють повну групу подій;

2) є несумісними;

3) є рівноможливими, то такі події утворюють простір елементарних подій.

Розглянемо випробування — кидання грального кубика; простір елементарних подій складається із подій:

А₁ — «поява числа 1»;

А₂ — «поява числа 2»;

А₃ — «поява числа З»;

А₄ — «поява числа 4»;

А₅ — «поява числа 5»;

А6 — «поява числа 6».

Розглянемо подію А — «випало парне число». Події А сприяють елементарні події: A₂, А₄, A₆.

Відношення числа подій, які сприяють події А, до загальної кількості подій простору елементарних подій називається ймовірністю випадкової події А і позначається Р(А).

В наведеному прикладі Р(А) = = .

Отже, Р(А) = , де

А — подія,

Р(А) — ймовірність події;

n — загальна кількість подій простору елементарних подій;

т — число подій, які сприяють події А.

Це класичне означення ймовірності було запроваджено засновниками теорії ймовірностей Б. Паскалем і П. Ферма. Ймовірність вірогідної події дорівнює 1. Ймовірність неможливої події дорівнює 0.

Якщо В – вірогідна подія, то

Якщо С – неможлива подія, то

Якщо А – випадкова подія, то

Тому ймовірність знаходять в межах:

Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні під час одиничного випробування або події А, або події В, або обох подій одночасно.

Суму двох подій позначають так: С = А + В або С = A U В.

Для будь-якої події А мають місце рівності:

А + U = U; А + А = А; A + =U; А + = А.

Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні обох подій А і В під час одиничного випробування.

Добуток двох подій А і В позначають так: С = А · В або С = АВ, або С = А В.

Для будь-якої події А і повної групи несумісних подій U мають місце рівності:

А·А =А; А· = , А · = ; А · U = А.

3 Ймовірності суми та добутку подій

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї з кількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Приклад 1. В ящику лежать 20 деталей, причому 5 з них стандартні. Робітник бере 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоч би одна з них стандартна (подія А).

Розв'язння

Нехай В – подія, яка полягає в тому, що одна взята деталь стандартна, а дві - нестандартні; С – подія, яка полягає в тому, що дві взяті деталі стандартні, а одна – нестандартна; D – подія, яка полягає в тому, що всі три взяті деталі стандартні.

Очевидно, що подія А відбудеться, якщо відбудеться хоч би одна з подій В, С, D. Отже подію А можна записати як суму подій В, С, D: . Події В, С, D – несумісні, отже

Дану задачу можна розв'язати простіше, якщо ввести подію - жодна з взятих трьох деталей не буде стандартною. Тоді:

;

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Ймовірність появи хоча однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи.

Приклад 2. Знайти ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове число буде кратним або 3, або 5, або обом зразу.

Розв'язання

Нехай А –подія, яка полягає в тому, що вибране число кратне 3, а В –в тому, що вибране число кратне 5. Знайдемо . Оскільки А і В– сумісні події, то . Обчислимо: (чисел кратних 3 серед двоцифрових чисел від 10 до 99 є 30).

(чисел кратних 5 серед двоцифрових чисел від 10 до 99 є 18).

(числа 15, 30, 45, 60, 75, 90 кратні і 3 і 5). Отже:

Умовна ймовірність події А при умові В - це ймовірність настання події А, обчислену в припущенні, що подія В уже відбулася і позначають .

Події А, В, С,… називають незалежними в сукупності, якщо ймовірність кожної з них не змінюється в зв'язку із настанням, або ненастанням інших подій.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Ймовірність сумісної події двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Ймовірність сумісної події двох залежних подій дорівнює добутку однієї з них на умовну ймовірність другої.

ЗАВДАННЯ: перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання.