Зміст теоретичного матеріалу

1. Тригонометрична форма комплексного числа. Модуль та аргумент.

Означення. Модулем комплексного числа а + bі називається вираз який позначається r або |а + bі|.

Рис. 1

Приклади:

Означення. Кут  між віссю Ох і відрізком ОМ, де точка М зображає комплексне число а + bі, називається аргументом комплексного числа а + bі.

Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну кількість аргументів, які відрізняються один від одного на 2k. Для числа 0 аргумент не визначений.

Аргумент  комплексного числа а + bі визначається формулами:

(1)

Зауваження. Щоб користуватися цими формулами, потрібно враховувати знаки абсциси та ординати комплексного числа.

Приклад. Знайти аргумент комплексного числа – 3 – 3і.

За формулою (1) маємо

, або  = 45,  = 225 і т. ін. Але кут 45 не є аргументом числа – 3–3і. Правильною є така відповідь: 225; – 135; 585 і т. д. Цей результат дістаємо, враховуючи, що абсциса та ордината комплексного числа є від’ємними, тобто точка М належить ІІІ чверті.

Рис. 2

Означення. Значення аргументу, яке належить проміжку (– ; ), називається головним.

Для комплексного числа – 3 – 3і головне значення аргументу дорівнює – 135.

Зауваження. Аргумент дійсного додатного числа має головне значення 0; від’ємного числа 180. Головні значення аргументу спряжених комплексних чисел мають одну й ту саму абсолютну величину, але протилежні знаки. Наприклад, головні значення аргументу спряжених чисел – 3 + 3і та – 3 – 3і дорівнюють 135 і – 135.

Розглянемо трикутник ОАМ і запишемо такі співвідношення між його сторонами: ; .

_Звідси , тобто маємо:

;

; (2)

;

;

, .

Подання комплексного числа у вигляді (2) називається тригонометричною формою комплексного числа.

Приклад. Записати комплексне число 1 + і у тригонометричній формі (рис. 3). Згідно з (2) маємо:

Рис. 3

; . Отже, .

Додавання і віднімання комплексних чисел простіше і зручніше виконувати, коли вони задані в алгебраїчній формі. Для інших алгебраїчних дій зручніша тригонометрична форма.

Наприклад, добуток двох чисел і подається так: .

Частка двох чисел і подається так: .

Степенем р комплексного числа є число , де р — будь-яке ціле число. Ця формула легко виводиться за означенням добутку комплексних чисел.

Приклад. Знайти , якщо .

.

1. Якщо р=n (n- ціле число) і r = 1, дістаємо формулу Муавра:

Якщо р — ірраціональне, то р-й степінь будь-якого числа має нескінченну множину значень.

2. Якщо р = 1/n, маємо:

, k = 0, 1, 2, …,n – 1.

2. Показникова форма комплексного числа, дії в показниковій формі

Формула Ейлера:

_{Згідно з цією формулою комплексне число можна подати в} показниковій формі:

 Справді, нехай r — модуль комплексного числа z = a + ib, а  — головний аргумент. Тоді z = r (cos + isin). Беручи до уваги формулу Ейлера, дістаємо:

Дії: 1) ; 2) ;

3) ; 4)

ЗАВДАННЯ: перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання відповідно до отриманих варіантів.