Контрольні завдання

1 Використовуючи теорему Кронекера-Капеллі, встановити чи сумісна система і , якщо сумісна, то розв’язати її трьома способами: 1) за формулами Крамера, 2) методом Гауса,3) матричним методом.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

14. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

30. 

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка конспектів самостійної роботи, розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.

Самостійна робота № 5 (4 год.)

ТЕМА: Вектори в просторі, дії над ними. Векторний і мішаний добуток векторів

МЕТА: знати поняття вектора, скалярного, векторного та мішаного добутку векторів, вміти виконувати дії над векторами та застосовувати їх до розв’язування задач.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 125-140.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. - 6-е изд. перераб. и доп. / Н.В.Богомолов. – М.: Высшая школа, 2003. - 495 с. – С. 269-284, 335-342.

3. Валєєв К.Г. Вища математика: Навч. посіб.: У 2 ч. Ч. 1 / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова; Київ. нац. екон. ун-т. - К., 2001. - 546 с. – С. 227-239.

4. Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 77-93.

5. Лейфура В.М. Математика: Підручник для студентів екон. спеціальностей вищ. навч. закладів І-ІІ рівнів акредитації / В.М. Лейфура, Г.І. Голодницький, Й.І. Файст – К.: Техніка, 2003. – 640 с. – С. 82-112.

ПЛАН

1. Вектори, дії над ними.

2. Векторний добуток векторів.

3. Мішаний добуток векторів.

Зміст теоретичного матеріалу

1. Вектори, дії над ними.

У геометрії вектором (у вузькому розумінні) називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.

Два вектори називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого.

Рівні вектори є паралельними (колінеарними), мають один і той самий напрям і однакову довжину. Довжина вектора а називається також абсолютною величиною, або модулем, вектора і позначається .

Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо він має нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.

Сумою a + b векторів a та b називається вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — із кінцем вектора b

Віднімання векторів — операція, обернена до їх додавання. Різниця b – a векторів a і b являє собою вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — із кінцем вектора b (рис. 4). a + (b – a) = b

Добутком вектора a на число  називається вектор , довжина якого дорівнює . Вектор колінеарний вектору а; має однаковий з ним напрям при і протилежний напрям при . Якщо або , то маємо , тобто добуток є нуль-вектором.

Множення вектора на число має властивість асоціативності та дистрибутивності. Для довільних чисел ,  та векторів a, b справджуються рівності:

Скалярним добутком векторів a і b називається число , що дорівнює добутку довжини цих векторів на косинус кута між ними:

Знаючи проекції векторів а, b, можна знайти кут між цими векторами:

Приклад 1. Дано просторовий трикутник з вершинами А(1, 2, –1), В(2, 4, 1), С(3, 0, 0). Знайдемо кут при вершині А.

Розв’язання

Розглянемо вектори і з їх скалярного добутку визначимо косинус шуканого кута: .

Оскільки скалярний добуток векторів a, b дорівнює нулю, то кут при вершині А прямий.

Відповідь: 90⁰.

2 Векторний добуток векторів

Векторним добутком двох неколінеарних векторів і є третій вектор , для якого виконується такі умови:

1. перпендикулярний до ; перпендикулярний до .

2. вектори , , утворюють праву трійку.

3. , тобто, довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах , .

Якщо і колінеарні, то векторний добуток вважається рівним нульовому вектору. Векторний добуток позначають: = . Координатні осі направляють так, щоб їхні орти, вектори , утворювали праву трійку. Тоді

z

.

Векторний добуток через координати ,

Оскільки, то

Знаходження площ паралелограма чи трикутника

Рис. 1 Рис. 2

Площа паралелограма:

Площа трикутника:

Приклад 2. Знайти площу трикутника, якщо A(4,3,7), B(0,4,3), C(17,-7,0).

_{Розв’язання}

=(-4,1,-4)

=(13,-10,-7)

=(-47,-80,27)

Відповідь: 48,32 кв.од.

1. Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток трьох векторів – це число, яке дорівнює , тобто скалярний добуток векторів і .

Геометричний зміст.

= ±V – об’єм паралелепіпеда побудованого на векторах .

«+» - якщо є правою трійкою, «-» - якщо лівою.

Позначення змішаного добутку .

Мішаний добуток через декартові координати.

, , ,

, то

Об’єм тетраедра, побудованого на векторах :

Приклад. Знайдемо об’єм V тетраедра з вершинами А(1, 2, 3), В(4, 4, 4), С(2, 6, 4), D(2, 3, 6).

Розв’язання

Розглянемо вектори і запишемо їх мішаний добуток:

.

Шуканий об’єм тетраедра АВСD становить від об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c. Отже,

.

ЗАВДАННЯ: перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання згідно отриманого варіанту.