Зміст теоретичного матеріалу

1. Теорема Кронекера-Капеллі

Розв'язком системи називається сукупність значень невідомих, які перетворюють кожне з рівнянь системи у рівність.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв'язок, і несумісною, якщо вона не має розв'язків.

Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, і невизначеною, якщо має більше ніж один розв'язок.

Якщо всі вільні члени системи дорівнюють нулю, то система називається однорідною, в іншому випадку - неоднорідною.

Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими:

(1)

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того, щоб система лінійних рівнянь (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи

дорівнював рангу розширеної матриці

,

тобто .

При цьому:

1. Якщо ранг матриці системи дорівнює числу невідомих і , то система має єдиний розв’язок;

2. Якщо ранг матриці системи менший числа невідомих і система сумісна, то вона має безліч розв’язків.

Приклад 1. Чи сумісна система

Розв’язок. Ранг матриці системи не може бути більшим 3.

Перетворимо матрицю А, помноживши елементи останнього рядка відповідно на -1, -2, -1 і додавши їх до елементів першого, другого і третього рядків:

Обчислимо мінор третього порядку

Отже, .

Обчислимо ранг розширеної матриці:

Обчислимо мінор четвертого порядку, розклавши його по елементам першого стовпчика, а мінор третього порядку – по елементам третього стовпчика.

Отже, .

Ранг матриць А і не співпадають, досліджувана система не сумісна.

Відповідь: система не сумісна

Приклад 2. Дослідити систему і розв’язати її, якщо вона сумісна

Розв’язання

.

,

Легко переконатися, що .

За теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна і містить два незалежних рівняння. За ці рівняння можна прийняти перші два рівняння системи, оскільки

.

Тоді

.

Система має безліч розв’язків.

Відповідь:

2. Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь nxn

Розв’яжемо систему рівнянь

(2)

Ця система є однорідною системою лінійних алгебраїчних рівнянь, оскільки в правій частині

Ця система завжди сумісна, оскільки має нульові розв’язки

Знайдемо (якщо вони існують) ненульові розв’язки системи (2).

Теорема. Якщо визначник D системи рівнянь (2) дорівнює нулю, а серед алгебраїчних доповнень елементів k-го рядка є ненульові, то ця система має ненульовий розв’язок виду

(3), де t — довільний параметр.

При розв’язуванні ж СЛОР розміру mxn користуються методом Гаусса.

Приклад 3. Знайдемо ненульовий розв’язок однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розв’язання

Обчислимо визначник цієї системи:

.

Знайдемо алгебраїчне доповнення елементів першого рядка:

.

Система однорідних рівнянь має розв’язок

,

що залежить від довільного параметра. Узявши , дістанемо іншу форму запису розв’язку

де s — довільний параметр.

ЗАВДАННЯ: законспектувати питання плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати індивідуальні завдання.

Контрольні питання:

1 Що називають розв’язком системи лінійних рівнянь?

2 Яка система рівнянь є сумісною? несумісною?

3. Яка система є визначеною? невизначеною?

4. Яка система лінійних рівнянь називається однорідною? неоднорідною?

5. Сформулювати теорему Кронекера-Капеллі.

6. За яких умов система лінійних рівнянь має один розв’язок?

7. За яких умов система лінійних рівнянь має безліч розв’язків?

8. Який вигляд має однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь nxn?

9. Як розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь nxn