Зміст теоретичного матеріалу

1. Ранг матриці. Алгоритм знаходження рангу матриці.

Розглянемо прямокутну матрицю А розміру :

Рангом матриці називається найвищий порядок мінора, що не дорівнює нулю.

Ціле число r >0 є рангом матриці А, якщо серед її мінорів n-го порядку є принаймні один, відмінний від нуля, а всі мінори, порядок яких більший, ніж n дорівнюють нулю.

Властивості рангу матриці

1. Ранг матриці А порядку не перевищує меншого з чисел m i n тобто r(A) min{m,n}.

2. r (а) =0 тоді і тільки тоді, коли А - нульова матриця.

3. Ранг квадратної матриці А n-го порядку дорівнює n то­ді і тільки тоді, коли матриця А невироджена, тобто її визначник не дорівнює нулю.

Методи обчислення рангу матриці

1. Метод окантування (за означенням).

2. Метод, який полягає в застосуванні елементарних перетворень матриці, до яких належать:

а) вилучення нульового рядка (стовпця);

б) множення всіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці на число, відмінне від нуля;

в) зміна порядку рядків (стовпців);

г) додавання до кожного елемента деякого рядка (стовпця);

ґ) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помно­жених на будь-яке число;

д) транспонування матриці.

З допомогою елементарних перетворень матрицю можна звести до трикутного вигляду.

Ранг матриці трикутного вигляду дорівнює кількості діагональних елементів, які не дорівнюють нулю.

Алгоритм знаходження рангу матриці

1. Зробити так, щоб коефіцієнт . Для цього можна поміняти рядки місцями.

2. В першому стовпці під коефіцієнтом зробити всі нулі. Для цього помножити перший рядок послідовно на і додати відповідно до другого, третього, m-го рядків.

3. Якщо в результаті перетворень отримали рядок чи стовпець, що містить усі нулі, то його вилучити.

4. Аналогічно зробити так, щоб коефіцієнт , а під ним були нулі.

5. Описані дії повторити для всіх діагональних елементів (з однаковими індексами), доки матриця не буде зведена до трикутного вигляду.

6. Знайти ранг матриці (кількість діагональних елементів, які не дорівнюють нулю).

Приклад 1 Обчислити ранг матриці

Розв'язання:

1. Поміняємо перший і другий рядок місцями для того, щоб елемент .

2. Щоб отримати в першому стовпці всі решта нулі, перший рядок домножимо на (-1) і додамо до третього рядка; перший рядок домножимо на (-2) і додамо до четвертого рядка;

3. Щоб отримати в другому стовпці третій і четвертий елементи - нулі, другий рядок додамо до третього рядка; другий рядок домножимо на 3 і додамо до четвертого рядка;

4. Вилучимо нульові рядки.

Ранг матриці r(A)=2.

Відповідь: r(A)=2

2. Властивості визначників ІІ та ІІІ порядків

1 Визначник не зміниться, якщо рядки поміняти на відповідні стовпці, а стовпці - на рядки

2 При перестановці двох рядків (або стовпців) абсолютна величина визначника не зміниться, а знак зміниться на протилежний.

то .

3 Якщо всі елементи довільного рядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник також дорівнює нулю.

4 Визначник з двома однаковими рядками (або стовпцями) дорівнює нулю.

5 Якщо всі елементи довільного рядка (або стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

6 Визначник, у якого всі елементи одного рядка (або стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (або стовпця), дорівнює нулю:

7 Якщо всі елементи деякого рядка (або стовпця) визначника є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементи згаданого рядка (стовпця) замінені відповідними доданками:

8 Визначник не зміниться, якщо до всіх елементів довільного рядка(або стовпця) додати елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на довільний множник, відмінний від нуля.

ЗАВДАННЯ: перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ:

1. Що називається «рангом» матриці?

2. Які властивості рангу матриці ви знаєте?

3. Методи обчислення рангу матриці.

4. Алгоритм знаходження рангу матриці.

5. Які властивості визначників ви знаєте? Охарактеризуйте їх.

КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ

1 Обчислити ранг матриць з допомогою елементарних перетворень:

1.1 ; 1.2 ; 1.3 .

2 Обчислити визначники, якщо n- остання цифра номера студента за списком:

2.1 ; 2.2 ; 2.3 .

ТЕМИ РЕФЕРАТІВ

1 Основні властивості визначників та їх застосування.

2 Правило Лапласа.

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.

САМОСТІЙНА РОБОТА № 4 (4 год.)

ТЕМА: Системи лінійних рівнянь. Загальна теорія систем лінійних рівнянь

МЕТА: знати основні поняття про системи лінійних рівнянь, теорему Кронекера-Капеллі, основні методи розв’язування систем лінійних рівнянь, вміти розв’язувати системи лінійних рівнянь за формулами Крамера, методом оберненої матриці та методом Гауса.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 102-110.

2. Валєєв К.Г. Вища математика: Навч. посіб.: У 2 ч. Ч. 1 / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова; Київ. нац. екон. ун-т. - К., 2001. - 546 с. – С. 129-135, 141-147.

3. Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 27-34.

4. Шкіль М.І. Вища математика: Кн.1 - Аналітична геометрія з елементами алгебри. Вступ до математичного аналізу : Підруч.для студ.пед.-індустр.фак.:В 3 кн. / М.І.Шкіль, Т.В. Колесник, В.М.Котлова. – Київ : Либідь, 1994 . – 280 с. – С. 17-32.

ПЛАН

1. Теорема Кронекера-Капеллі.

2. Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь nxn.