Контрольні питання:

1. Як записується формула прямокутників?

2. Записати формулу трапецій.

2. Записати формулу Сімпсона.

Контрольні завдання

ВАРІАНТ № 1

Наближено обчислити інтеграл за допомогою формул прямокутників і трапецій при n=4 і порівняти з його точним значенням.

ВАРІАНТ № 2

Наближено обчислити інтеграл за допомогою формул прямокутників і трапецій при n=5 і порівняти з його точним значенням.

ВАРІАНТ № 3

Наближено обчислити інтеграл за допомогою формул прямокутників і трапецій при n=6 і порівняти з його точним значенням.

ВАРІАНТ № 4

Наближено обчислити інтеграл за допомогою формул прямокутників і трапецій при n=7 і порівняти з його точним значенням.

ВАРІАНТ № 5

Наближено обчислити інтеграл за допомогою формул прямокутників і трапецій при n=8 і порівняти з його точним значенням.

ВАРІАНТ № 6

Наближено обчислити інтеграл за допомогою формул прямокутників і трапецій при n=9 і порівняти з його точним значенням.

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.

Самостійна робота № 19 (6 год.)

ТЕМА: Основні поняття. Диференціальні рівняння першого порядку

МЕТА: знати поняття диференціального рівняння першого порядку, їх види, вміти розв’язувати диференціальні рівняння першого порядку.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 315-327.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. - 6-е изд. перераб. и доп. / Н.В.Богомолов. – М.: Высшая школа, 2003. - 495 с. – С. 248-250.

3. Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 620-630.

4. Лейфура В.М. Математика: Підручник для студентів екон. спеціальностей вищ. навч. закладів І-ІІ рівнів акредитації / В.М. Лейфура, Г.І. Голодницький, Й.І. Файст – К.: Техніка, 2003. – 640 с. – С. 558-564.

5. Овчинников П. П. Вища математика. Збірник задач: Навч. посіб. для студ. вищ. техн. навч. закл.:У 2 ч. Ч. 2. Звичайні диференцальні рівняння. Операційне числення. Ряди. Рівняння математичної фізики. Стійкість за Ляпуновим. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики. Методи оптимізації і задачі керування. Варіаційне числення. Числові методи / П. П. Овчинников, П. С. Кропив'янський, С. П. Полушкін, І. І. Рябець, О. Ф. Кривий; ред.: П. П. Овчинников. - 2-е вид., стереотип.. - К. : Техніка, 2004. - 376 с. – С. 15-21.

ПЛАН

1. Розв’язування диференціальних рівнянь в повних диференціалах.

2. Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь I порядку за схемою Бернуллі.

Зміст теоретичного матеріалу

1. Розв’язування диференціальних рівнянь в повних диференціалах.

Означення. ДР виду  du(x, y) = 0  або називається ДР у повних диференціалах.

Це рівняння має інтеграл

u (x, y)= С, С = const.

ДР виду

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

є ДР у повних диференціалах, якщо виконується тотожність

При цьому функцію u = u(х, у) знаходимо з рівнянь

В окремих випадках можна застосовувати формули

де х₀, у₀ — довільні значення. При цьому розв’язок задачі Коші з початковими умовами х = х₀, у = y₀ визначається рівнянням u(х, у) = 0.

Приклад 1. Розв’яжемо ДР (2х + 2у)dx + (2x – 2y)dy = 0.

^{Розв’язання}

Cпочатку перевіримо виконання умов:

Оскільки умова виконана, то знаходимо розв’язок із формули при х₀ = 0, у₀ = 0:

Отже, ДР має інтеграл х² + 2ху – у² = С.

Відповідь: х² + 2ху – у² = С.

2. Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь I порядку за схемою Бернуллі.

ДР виду де р(х), q(x) відомі функції, називається лінійним ДР. Якщо q(x)  0, то ДР називається однорідним. Якщо q(x)  0, то ДР називається неоднорідним.

Однорідне лінійне ДР завжди інтегрується в квадратурах як ДР з відокремлюваними змінними:

Нехай відомий частинний розв’язок у = у₀(х) лінійного ДР:

Шукаємо загальний розв’язок неоднорідного ДР у вигляді

у = у₀(х) + z

і для z знаходимо однорідне лінійне ДР

z + p(x)z = 0.

Отже, справджується така теорема.

Теорема. Загальний розв’язок неоднорідного лінійного ДР дорівнює сумі частинного розв’язку неоднорідного ДР і загального розв’язку однорідного ДР.

Лінійне ДР у + 2ху = 1 + 2х² має частинний розв’язок у = х. Оскільки однорідне рівняння z + 2хz = 0 має загальний розв’язок то початкове рівняння має загальний розв’язок

Для пошуку загального розв’язку неоднорідного ДР найчастіше застосовують такі методи розв’язування.