Контрольні питання:

1 У чому полягає відмінність між невласними інтегралами першого й другого роду?

2 Як обчислюються невласні інтеграли І роду?

3 Як обчислюються невласні інтеграли ІІ роду?

4 Назвати властивості невласних інтегралів.

Контрольні завдання

Обчислити невласні інтеграли:

1)

2)

3)

4)

5)

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка конспектів самостійної роботи, розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.

Самостійна робота № 18 (2 год.)

ТЕМА: Методи наближеного обчислення інтегралів

МЕТА: знати формули прямокутників, трапецій, Сімпсона, вміти застосовувати формули прямокутників, трапецій, Сімпсона до наближеного обчислення інтегралів.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 296-297.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. - 6-е изд. перераб. и доп. / Н.В.Богомолов. – М.: Высшая школа, 2003. - 495 с. – С. 211-212.

3. Валєєв К.Г. Вища математика: Навч. посіб.: У 2 ч. Ч. 2 / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова; Київ. нац. екон. ун-т. - К., 2001. - 546 с. – С. 193-197.

4. Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 551-556.

ПЛАН

1 Формула прямокутників.

2 Формула трапецій.

3 Формула Сімпсона.

Зміст теоретичного матеріалу

Якщо первісна підінтегральної функції відома, визначений інтеграл обчислюють за формулою Ньютона—Лейбніца. Але можлива ситуація, коли первісна або не подається у вигляді елементарної функції, або вираз для первісної складний. Тоді застосо­вують наближені формули обчислення визначених інтегралів.

Основна ідея побудови цих формул полягає в заміні підінтегральної функції на функцію простішого вигляду, наприклад многочлен, інтеграл від якого знаходять безпосередньо за формулою Ньютона—Лейбніца.

1. Формула прямокутників

Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл де f(x) — функція, інтегровна на відрізку [a; b]. Розіб’ємо відрізок інтегрування на 2n частин:

а = х₀ < x₁ < x₂ < … < x_2k < … < x_2n–2 < x_2n–1 < x_2n = b.

Рис. 1

На кожному з відрізків [x_2k–2; x_2k] побудуємо прямокутник сСDd висотою f(x_2k – 1) (рис. 1). Площу криволінійної трапеції замінимо на суму площ усіх таких прямокутників. Отже, визначений інтеграл наближено дорівнює такій сумі:

де h — довжина відрізка розбиття, - формула прямокутників.

Значення функції у точках позначимо так: , Побудуємо для функції на проміжку інтегральні суми, кожна з яких буде наближено подавати визначений інтеграл:

Доведено, що похибка застосування формули не перевищує

Звичайно обчислення закінчується, коли модуль різниці |S_2n – S_n| стає меншим від заданої похибки.

Приклад 1. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл

Розв’язання

Візьмемо a = – 1, b = 1, тоді ;

Результати обчислень наведено в таблиці:

n	2	4	8	16	32	64	128
Sn	2	1,558	1,509	1,497	1,495	1,494	1,494

З таблиці бачимо, що значення інтеграла із заданою точністю дістаємо на 6-му кроці.

Відповідь: 1,494.

2. Формула трапецій

Геометричні розрахунки приводять до іншої формули: формули трапеції. Замінимо задану криву вписаною в неї ламаною з вершинами в точках (х_і, у_і), де у_і = f(x_i). Тоді криволінійна трапеція заміниться фігурою, утвореною трапеціями.

Р

Рис. 2.18

Рис. 2.18

ис. 2

Якщо проміжок [a, b] поділений на рівні частини, то площі відповідних трапецій будуть такі:

Додаючи, дістаємо: - формула трапецій.

Доведено, що похибка застосування формули не перевищує

Приклад 2. Обчислити інтеграл з точністю до 0,001.

Розв’язання

За формулою маємо: . Візьмемо n = 10, тоді .

Обчислення подамо таблицею:

хі	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2
уі	0,9091	0,8333	0,7692	0,7143	0,7143	0,6667	0,6250	0,5882	0,5556	0,5263	0,5000

Отже, за формулою  0,69377  .

Відповідь: 0,69377.

3. Формула Сімпсона

Щоб для обчислення визначеного інтеграла дістати наближену формулу вищої точності, ніж формули прямокутників і трапецій, вписуватимемо в дану криву замість прямолінійних відрізків відрізки параболи.

Рис. 3

Можна довести, що площа S криволінійної трапеції, обмеженої параболою у = ab² + bx + c, яка проходить через точки А(– h; y₁), B(0; y₂), C(h; y₃) (рис. 3), обчислюється формулою:

Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену графіком функції у = f(x), і розіб’ємо відрізок інтегрування [a; b] на 2n рівних частин точками:

а = х₀ < x₁ < x₂ < … < x_2k < … < x_2n–2 < x_2n–1 < x_2n = b.

Провівши через кожні три точки А₀А₁А₂, … А_2kA_2k+1A_2k, …, A_2n–2A_2n–1A_2n параболу, дістанемо n криволінійних трапецій, обмежених згори параболами. За формулою площа кожної такої частинної криволінійної трапеції, що спирається на відрізок [x_2k, x_2k+2], подається у вигляді

, де у_k = f(x_k), 0  k  2n.

Додаючи почленно ці наближені рівності, дістаємо формулу:

-формула Сімпсона.

Можна довести, що похибка формули не перевищує

Приклад 3. Обчислити інтеграл з точністю до 0,001.

Розв’язання

За формулою маємо:

Очевидно, що похідна у^IV зростає при 0  х  1 і набуває найбільшого значення при х = 1.

Отже, Узявши n = 10, дістаємо

Розрахунки наведемо в таблиці:

і	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
хі	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
уі	0	1,0101	1,0408	1,0942	1,1735	1,2840	1,433	1,6323	1,8965	2,2479	2,7183

Тоді за формулою маємо

Відповідь: 1,463.

Зауваження. У деяких випадках застосовують досконаліші обчислювальні схеми (наприклад, Гаусса, Чебишова і т. ін.), які за рахунок вибору значень функції дають змогу швидше обчислювати наближені значення визначених інтегралів.

Приклад 4. Обчислити наближено при n = 10 за формулами прямокутників, трапецій, Сімпсона такий інтеграл: .

Розв’язання

Поділимо проміжок [1; 2] на 10 рівних частин, тобто візьмемо та складемо таку таблицю значень функції :

хі	уі	хі	уі
х0 = 1,0	у0 = 1,00000	х6 = 1,6	у6 = 0,62500
х1 = 1,1	у1 = 0,90909	х7 = 1,7	у7 = 0,58824
х2 = 1,2	у2 = 0,83333	х8 = 1,8	у8 = 0,55556
х3 = 1,3	у3 = 0,76923	х9 = 1,9	у9 = 0,52632
х4 = 1,4	у4 = 0,71429	х10 = 2,0	у10 = 0,50000
х5= 1,5	у5 = 0,66667

За формулою лівих прямокутників (n = 10)

.

За формулою правих прямокутників (n = 10)

.

За формулою трапецій (n = 10)

.

За формулою Сімпсона n = 2m = 10

Згідно з таблицею натуральних логарифмів , і отже, найбільш точним виявилось обчислення за формулою Сімпсона.

Відповідь: 0,71877; 066877; 0,69377; 0,69315.

ЗАВДАННЯ: законспектувати запитання плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання.