Самостійна робота № 16 (6 год.)

ТЕМА: Застосування інтегралів до розв’язування прикладних задач

МЕТА: вміти застосовувати інтеграли до розв’язування прикладних задач.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1 Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С..

ПЛАН

1

ЗМІСТ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Самостійна робота № 17 (4 год.)

ТЕМА: Невласні інтеграли

МЕТА: знати поняття невласного інтеграла, його види, вміти знаходити невласні інтеграли.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1 Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 298-299.

2 Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 549-551.

ПЛАН

1 Невласні інтеграли I роду

2 Невласні інтеграли II роду

Зміст теоретичного матеріалу

1 Невласні інтеграли I роду

Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного , так що існує.

Означення. Границя при називається невласним інтегралом від функції f(x) на нескінченному проміжку і позначається так: .

Якщо ця границя існує та скінченна, то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (зокрема нескінченна), то — розбіжним.

Якщо f(x) — інтегровна для скінченних a та b, тобто формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:

де

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл Діріхле .

Для розв’язування задачі розглянемо такі три випадки:

1. р=1. інтеграл розбіжний.

2. p < 1. , інтеграл розбіжний.

3. р > 1. , інтеграл збіжний.

Отже, інтеграл Діріхле збіжний при p > 1 та розбіжний при .

Крім безпосереднього обчислення невласних інтегралів при дослідженні їх на збіжність існують і інші методи.

Одним із таких методів можна встановити збіжність інтеграла Пуассона (рис. 1)

Рис. 1

,особливість якого полягає в тому, що первісна для підінтегральної функції не виражається через елементарні функції.

У деяких випадках достатньо встановити лише збіжність чи розбіжність розглядуваного інтеграла, при цьому можна скористатися методом порівняння, що базується на такій теоремі:

Теорема. Якщо при виконується нерівність , то зі збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла або з розбіжності випливає розбіжність . Звичайно, для порівняння вибирається інтеграл, збіжність якого відома, наприклад інтеграл Діріхле.

Приклад. Дослідити збіжність інтеграла .

. - збіжний, як інтеграл Діріхле із р=2>1, тому буде збіжним і .

2 Невласні інтеграли II роду

Нехай неперервна на проміжку та при х=а має розрив 2-го роду.

Означення. називається невласним інтегралом від розривної (необмеженої) функції .

Якщо ця границя існує, то інтеграл називається збіжним, а якщо не існує, то - розбіжним. Для обчислення таких невласних інтегралів використовують такі формули:

- точка розриву , .

- точка розриву ,

точка розриву ,

Зауваження. До невласних інтегралів, які мають точку розриву, що є внутрішньою для не можна застосувати формулу Ньютона—Лейбніца.

Приклад. Обчислити . Pозв’язання: , - точка розриву 2-го роду функції - невласний.

інтеграл розбіжний.

ЗАВДАННЯ: законспектувати запитання плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання.