1). Якщо ,, то

;

2). Якщо , то

,

де А_і, В_і, і = — деякі коефіцієнти, та — правильні раціональні дроби.

Приклад. Даний правильний раціональний дріб (n < 12) розкласти на суму найпростіших дробів.

.

Коефіцієнти А₁, В₁, В₂, ..., N₂ поки що невідомі (невизначені коефіцієнти); для їх знаходження треба праву частину рівності звести до спільного знаменника (найменшого) і знайдений чисельник прирівняти до чисельника даного дробу (бо здобуті дроби тотожно рівні й у них рівні знаменники). Із тотожної рівності многочленів у чисельниках одержимо рівності коефіцієнтів при однакових степенях змінної х, що являють собою систему лінійних рівнянь для знаходження коефіцієнтів А₁, В₁, В₂, ..., N₂. Описаний вище метод називають методом невизначених коефіцієнтів.

Методика інтегрування раціональних функцій

1. Якщо підінтегральна функція - неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена та правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціонального дробу розкладають на множники. За виглядом знаменника правильний раціональний дріб подають у вигляді суми найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

3. Інтегрують цілу частину та найпростіші дроби.

Приклад. ;

;

.

5. Обчислення визначених інтегралів

_{Теорема} (Ньютона—Лейбніца). Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто де

Приклад.

Теорема. Якщо: 1) — неперервна для ; 2) 3) та - неперервні для 4)при то

Приклад.

=

Теорема. Якщо функції та мають неперервні похідні для , то

Приклад.

ЗАВДАННЯ: законспектувати питання №4 плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання згідно отриманих варіантів.

Контрольні питання:

1. Яку функцію називають первісною для даної функції?

2. Що називають невизначеним інтегралом?

3. Які існують основні методи інтегрування?

4. Записати формулу заміни змінної в невизначеному інтегралі.

5. Записати формулу інтегрування частинами. У чому полягає суть цього методу?

6. Як інтегруються елементарні дробово-раціональні функції вигляду: ; ; ; ?

7. Яким чином правильний раціональний дріб розкладається на суму елементарних?

8. Записати формулу Ньютона-Лейбніца.

9. Як здійснюється заміна змінної у визначеному інтегралі?

10. Як записується формула інтегрування частинами для визначеного інтегралу?

Контрольні завдання

ВАРІАНТ № 1

Знайти чи обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ВАРІАНТ № 2

Знайти чи обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ВАРІАНТ № 3

Знайти чи обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ВАРІАНТ № 4

Знайти чи обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ВАРІАНТ № 5

Знайти чи обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ВАРІАНТ № 6

Знайти чи обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка конспектів самостійної роботи, розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.