Самостійна робота № 14 (4 год.)

ТЕМА: Безумовні та умовні екстремуми функції двох змінних

МЕТА: знати поняття критичних точок функції двох змінних, правила знаходження екстремумів функції двох змінних, вміти досліджувати на екстремуми функції двох змінних.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 253-256.

2. Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 426-433.

3. Овчинников П. П. Вища математика. Збірник задач: Навч. посіб. для студ. вищ. техн. навч. закл.:У 2 ч. Ч. 1. Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне та інтегральне числення / Х. І. Гаврильченко, С. П. Полушкін, П. С. Кропив'янський та ін.; ред.: П. П. Овчинников. - 2-е вид., стереотип.. - К. : Техніка, 2004. - 279 с. – С. 155-158.

ПЛАН

4. Види екстремумів. Необхідна умова існування екстремума. Сідлова точка.

5. Достатня умова існування екстремума.

6. Знаходження умовних екстремумів.

Зміст теоретичного матеріалу

1. Види екстремумів. Необхідна умова існування екстремума. Сідлова точка.

Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Можливий ще й такий варіант екстремальної точки: так звана сідлова точка - С (рис. 1).

Рис. 1

Необхідна умова існування екстремумів

Теорема. Для точки екстремуму функції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Точки, в яких функція визначена, а її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називають критичними точками цієї функції.

Точки, координати яких задовольняють систему рівнянь, називаються стаціонарними точками функції . Точки екстремуму диференційовної функції слід шукати лише серед її стаціонарних точок.

2. Достатня умова існування екстремума

Теорема. Нехай функція — двічі неперервно диференційовна в околі стаціонарної точки . Тоді точка :

1) є точкою мінімуму функції, якщо

, причому рівність виконується лише за умови ;

2) є точкою максимуму функції, якщо

, причому рівність виконується лише за умови ;

3) не є точкою екстремуму, якщо набуває як додатних, так і від’ємних значень.

Умови 1)—3) означають відповідно, що квадратична форма відносно диференціалів незалежних змінних додатно визначена, від’ємно визначена, невизначена.

Для функції двох змінних форма при , буде визначеною (додатною при і від’ємною при ), а при - невизначеною.

Отже, якщо