Похідна неявної функції

Якщо існує неперервна функція однієї змінної , така що відповідні пари задовольняють умову , тоді ця умова називається неявною формою функції , а сама функція називається неявною функцією, яка задовольняє умову .

Припустимо, що неперервна функція задана в неявній формі і що . Похідну обчислюємо за формулою , .

Приклад. Знайти похідну від неявної функції в точці , .

Маємо , , звідки .

Для , маємо .

Аналогічно частинні похідні функції двох незалежних змінних , яку задано за допомогою рівняння , де  - диференційовна функція змінних , , , можуть бути обчислені за формулами

, за умови, що .

Приклад. Знайти , , якщо .

У даному разі . Знайдемо , , .

, , .

Тоді за формулами , .

ЗАВДАННЯ: законспектувати питання плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання.

Контрольні питання:

1 Що називають функцією двох змінних?

1. Яке означення частинних похідних функції двох змінних?

2. Як обчислюються частинні похідні другого, …, n-го порядків?

3. Які похідні називають мішаними?

4. Яку функцію двох змінних називають диференційованою в точці?

5. Яка необхідна умова диференційованості функції?

6. Яка достатня умова диференційованості функції?

7. Що називають повним диференціалом функції двох змінних?

8. Як обчислюються частинні похідні вищих порядків?

9. Як знайти похідну функції за напрямом даного вектора?

10. Що називають градієнтом функції? Що він характеризує?

Контрольні завдання

ВАРІАНТ №1

1 Довести, що дана функція задовольняє наведеному рівнянню .

2 Знайти градієнт функції точці M

3 Знайти похідну функції в точці M за напрямом даного вектора .

ВАРІАНТ №2

1 Довести, що дана функція задовольняє наведеному рівнянню .

2 Знайти градієнт функції точці M

3 Знайти похідну функції в точці M за напрямом даного вектора .

ВАРІАНТ №3

1 Довести, що дана функція задовольняє наведеному рівнянню .

2 Знайти градієнт функції точці M

3 Знайти похідну функції в точці M за напрямом даного вектора .

ВАРІАНТ №4

1 Довести, що дана функція задовольняє наведеному рівнянню .

2 Знайти градієнт функції точці M

3 Знайти похідну функції в точці M за напрямом даного вектора .

ВАРІАНТ №5

1 Довести, що дана функція задовольняє наведеному рівнянню .

2 Знайти градієнт функції точці M

3 Знайти похідну функції в точці M за напрямом даного вектора .

ВАРІАНТ №6

1 Довести, що дана функція задовольняє наведеному рівнянню .

2 Знайти градієнт функції точці M

3 Знайти похідну функції в точці M за напрямом даного вектора .

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.