Контрольні питання:

1 Сформулювати означення диференціалу функції.

2 В чому полягає геометричний зміст диференціалу? Проілюструвати графічно.

4 Функція диференційована в точці . До чого прямує різниця , якщо ?

5 Для якої функції диференціал у кожній точці збігається з її приростом?

6 Диференціал функції у деякій точці дорівнює нулю при довільному прирості аргументу. Що це означає геометрично?

Контрольні завдання

ВАРІАНТ № 1

1 Знайти диференціали першого та другого порядків функції .

2 Обчислити наближено значення функції при .

3 Обчислити наближене значення виразів: ; .

ВАРІАНТ № 2

1 Знайти диференціали першого та другого порядків функції .

2 Обчислити наближено значення функції при .

3 Обчислити наближене значення виразів: ; .

ВАРІАНТ № 3

1 Знайти диференціали першого та другого порядків функції .

2 Обчислити наближено значення функції при .

3 Обчислити наближене значення виразів: ; .

ВАРІАНТ № 4

1 Знайти диференціали першого та другого порядків функції .

2 Обчислити наближено значення функції при .

3 Обчислити наближене значення виразів: ; .

ВАРІАНТ № 5

1 Знайти диференціали першого та другого порядків функції .

2 Обчислити наближено значення функції при .

3 Обчислити наближене значення виразів: ; .

ВАРІАНТ № 6

1 Знайти диференціали першого та другого порядків функції .

2 Обчислити наближено значення функції при .

3 Обчислити наближене значення виразів: ; .

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка конспектів самостійної роботи, розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.

Самостійна робота № 12 (4 год.)

ТЕМА: Дослідження функцій та побудова графіків

МЕТА: знати загальну схему дослідження функції за допомогою похідної, вміти досліджувати функції за допомогою похідної та будувати їх графіки.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 220-233.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. - 6-е изд. перераб. и доп. / Н.В.Богомолов. – М.: Высшая школа, 2003. - 495 с. – С. 105-117.

3. Валєєв К.Г. Вища математика: Навч. посіб.: У 2 ч. Ч. 1 / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова; Київ. нац. екон. ун-т. - К., 2001. - 546 с. – С. 444-473.

4. Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К.: Либідь, 2007. - 720 с. – С. 323-334.

5. Лейфура В.М. Математика: Підручник для студентів екон. спеціальностей вищ. навч. закладів І-ІІ рівнів акредитації / В.М. Лейфура, Г.І. Голодницький, Й.І. Файст – К.: Техніка, 2003. – 640 с. – С. 432-457.

ПЛАН

1. Загальна схема дослідження функції.

Зміст теоретичного матеріалу

1. Загальна схема дослідження функції.

1.Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.

3. З’ясувати точки перетину функції з вісями координат.

4. Знайти асимптоти графіка функції (якщо вони існують).

5. З’ясувати, як функція поводиться на кінцях кожного з проміжків області визначення (знайти границі функції на кінцях цих проміжків, якщо вони є).

6. Дослідити функцію на монотонність та екстремуми. Знайти екстремуми і значення функції в точках екстремуму.

7. Дослідити функцію на опуклість (вгнутість): знайти інтервали опуклості (вгнутості), а також точки перегину функції.

8. Побудувати графік функції (якщо потрібно, то взяти додаткові точки).

Приклад 1. Побудуємо графік функції .

1. Функція не існує в точках . Тому область визначення функції

2. Функція непарна, оскільки . З огляду на непарність функції достатньо побудувати її графік лише при , графік симетричний відносно початку координат.

Функція неперіодична.

3. Точки перетину з осями координат:

з віссю Ох: (0; 0) — точка перетину з віссю Ох.

з віссю Оу: (0; 0) — точка перетину з віссю Оу.

4. Знаходимо асимптоти функції. Насамперед з’ясовуємо, що прямі - вертикальні асимптоти. (Це випливає з означення вертикальних асимптот та п. 4.)

Шукаємо похилу асимптоту ;

. Отже, — похила асимптота.

5.  Функція невизначена в точці тому ці точки є «підозрілими» на розрив. Знайдемо односторонні границі в точці :

Точки — точки розриву другого роду.

— область неперервності функції.

Залишилось знайти границі функції, коли і

5. Знайдемо першу похідну від функції у (вона існує на D (x)):

Дослідимо функцію на монотонність і знайдемо точки екстремуму. Для знаходження стаціонарних точок прирівнюємо першу похідну до нуля:

Зважаючи на зауваження п. 2, розглядатимемо дослідження функції при

, коли , , коли

Тому — точка максимуму, — точка мінімуму.

7. Знайдемо другу похідну функції у:

Точка х = 0 може бути точкою перегину, бо Перевіримо це за критерієм. Визначимо знак в околі точки х = 0

Друга похідна змінює в точці х = 0 свій знак, тому функція має точку перегину х = 0, на проміжку (0; 1) функція опукла, (1, +∞) — функція вгнута.

8. Побудуємо графік функції, враховуючи дослідження.

ЗАВДАННЯ: перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати індивідуальні завдання.