Контрольні завдання
1 Дослідити функції на неперервність, за наявності точок розриву встановити їх рід, побудувати схематичні графіки функцій
ВАРІАНТ № 1
ВАРІАНТ № 2
ВАРІАНТ № 3
ВАРІАНТ № 4
ВАРІАНТ № 5
ВАРІАНТ № 5
ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка конспектів самостійної роботи, відповідей на тестові питання, розв’язаних контрольних завдань.
ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.
Самостійна робота № 11 (4 год.)
ТЕМА: Похідна функції. Знаходження похідних першого і вищих порядків. Правило Лопіталя
МЕТА: знати поняття похідної функції, вміти знаходити похідні різних функцій (явної, неявної, заданої параметрично, показниково-степеневої) та застосовувати їх до знаходження границь.
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:
Валєєв К.Г. Вища математика: Навч. посіб.: У 2 ч. Ч. 1 / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова; Київ. нац. екон. ун-т. - К., 2001. - 546 с. – С.
План зміст теоретичного матеріалу індивідуальні завдання
Знайти похідні функцій:
1
а)
; б)
в)
;
2
а)
; б)
в)
;
3
а)
; б)
в)
;
4
а)
; б)
в)
;
5
а)
; б)
в)
;
6
а)
; б)
в)
;
7
а)
; б)
в)
;
8
а)
; б)
в)
9
а)
; б)
в)
;
10
а)
; б)
в)
;
11
а)
; б)
в)
;
12
а)
; б)
в)
;
13
а)
; б)
в)
;
14
а)
; б)
в)
;
15
а)
; б)
в)
;
16
а)
; б)
в)
;
17
а)
; б)
в)
;
18
а)
; б)
в)
;
19
а)
; б)
в)
;
20
а)
; б)
в)
;
21
а)
; б)
в)
;
22
а)
; б)
в)
;
23
а)
; б)
в)
;
24
а)
; б)
в)
;
25
а)
; б)
в)
;
26
а)
; б)
в)
;
27
а)
; б)
в)
;
28
а)
; б)
в)
;
29
а)
; б)
в)
;
30
а)
; б)
в)
.
Самостійна робота № 11 (3 год.)
ТЕМА: Диференціал функції
МЕТА: знати поняття диференціалу функції, його геометричний і фізичний зміст, вміти обчислювати наближено значення функції за його допомогою.
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:
Валєєв К.Г. Вища математика: Навч. посіб.: У 2 ч. Ч. 1 / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова; Київ. нац. екон. ун-т. - К., 2001. - 546 с. – С. 401-404.
Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 288-290.
Лейфура В.М. Математика: Підручник для студентів екон. спеціальностей вищ. навч. закладів І-ІІ рівнів акредитації / В.М. Лейфура, Г.І. Голодницький, Й.І. Файст – К.: Техніка, 2003. – 640 с. – С. 399-402.
ПЛАН
1 Означення диференціалу функції.
2 Геометричний зміст диференціалу.
3 Застосування диференціалу до наближених обчислень.
Зміст теоретичного матеріалу
1 Означення диференціалу функції.
Нехай
функція у = f (х)
диференційовна на деякому проміжку,
тобто для будь-якої точки х
з цього проміжку границя
існує і дорівнює скінченному числу.
Враховуючи
взаємозв’язок змінної величини, що
має скінченну границю, і нескінченної
малої величини, можемо записати
,
де
—
нескінченно мала величина (
при
).
Помноживши
всі члени останньої рівності на
,
дістанемо
.
(1)
З
виразу (1)
випливає, що приріст функції
складається із суми двох доданків, з
яких перший доданок — так звана головна
частина приросту,
лінійна відносно
(при
добуток
є нескінченно мала величина першого
порядку відносно
).
Другий доданок — добуток
завжди нескінченно мала величина вищого
порядку, ніж
.
Означення. Добуток називається диференціалом функції у = f (х); його позначають символом dy, тобто
(2)
Знайдемо
диференціал функції у=х;
для цього випадку
,
отже,
.
Таким чином, диференціал незалежної
змінної збігається з її приростом
.
З огляду на це формулу для диференціала
(2)
можна записати так:
.
(3)
Приклад.
Знайти диференціал dy
функції
:
1) при довільних значеннях х
та
;
2) при х
= 20,
= 0,1.
Розв’язання
1)
;
2)
якщо х
= 20,
= 0,1, то
.
Приклад
1.
Знайти диференціал dy
функції
.
Розв’язання
Оскільки
,
то за формулою (3)
дістанемо
.
Правила знаходження диференціала:
1.
у
= с;
dy
= 0; 3.
2.
; 4.
.
Теорема. Форма диференціала не залежить від того, чи є аргумент незалежною змінною або функцією.
Диференціалом
2-го порядку
функції
в
точці х
називається
вираз
(диференціал від диференціала 1-го
порядку функції в цій точці).
.
Диференціалом
n-го
порядку
функції
в
точці x називається
вираз
(диференціал від диференціала (n-l)-ro
порядку
функції в цій точці)
Приклад
2. Знайти
диференціал 3-го порядку функції
Розв'язання
Диференціал
3-го порядку функції знайдемо за формулою
.
Отже,
.
Відповідь: .
2 Геометричний зміст диференціалу.
Диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції у = f (х) в точці х0.
Диференціал
є лінійним
наближенням (апроксимацією) до приросту
функції:
.
Наскільки менше
,
настільки краще наближення (апроксимація)
(рис. 1).
Рис. 1
3 Застосування диференціалу до наближених обчислень.
Вираз (1) з урахуванням (2) можна записати так:
.
(4)
Якщо
,
то величина
є малою вищого порядку порівняно з dy.
При
малих
доданком
у виразі (4)
нехтують і користуються наближеною
рівністю
,
або в розгорнутому вигляді:
,
звідки
.
(5)
Остання наближена рівність тим точніша, чим менше .
Приклад
3.
Обчислити наближено
.
Розв’язання
Перетворимо вираз, що стоїть під знаком радикала:
,
звідки
.
(4.13)
При
обчисленні
введемо
функцію
,
тоді
.
Формула (5) у нашому випадку запишеться так:
,
де
.
Інакше
.
(6)
Підставивши
(6)
у рівність (5),
дістанемо
.
Приклад
4.
Обчислити наближено
.
Розв’язання
Використаємо
рівність
,
.
Отже,
.
Відповідь:
Приклад
5.
Обчислити наближено значення
.
Розв’язання
Розглянемо
функцію
.
Візьмемо х
= 0,5,
= 0,01 та, застосовуючи формулу
,
одержимо
.
Відповідь: 0,513.
ЗАВДАННЯ: законспектувати питання плану, перевірити знання за допомогою контрольних питань. Виконати контрольні завдання.