Можливі варіанти розриву функцій в точці

(рис. 4.12)

Рис. 3

(рис. 4.13).

Рис. 4

(рис. 4.14)

Рис. 5

Точка х₀ називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінченні границі і при цьому:

1.  або 2. або 3. або

неусувний розрив 1-го роду;

4. — усувний розрив 1-го роду

Точка х₀ називається точкою розриву 2-го роду функції у = f(x), якщо одна із границь не існує або нескінченна.

Методика дослідження функції у = f(x) на неперервність

1. Знаходимо точку х₀ — «підозрілу» на розрив. Це може бути точка, в якій функція невизначена або змінює закон визначеності.

2. Визначаємо інтервали неперервності функції.

3. Обчислюємо .

4. Робимо висновок згідно з теоремами (якщо такі границі існують), або використовуючи означення точок розриву.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

Розв’язання

Рис. 6

1. Точка х₀ = 1 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку (– ; 1) маємо у = х, на проміжку (1, +) — іншу залежність: у = х + 1).

2. Функція неперервна на проміжках (– ; 1) і (1; + ).

3. Знаходимо

.

4. , тому за означенням функція має в точці х = 1 неусувний розрив 1-го роду.

3. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Теорема 1. (Больцано-Коші). Нехай функція неперервна на відрізку [а; b] і на кінцях його набуває значень різних знаків. Тоді на інтервалі (а; b) знайдеться точка с, в якій функція перетворюється на нуль.

Теорема 2 (Коші). Нехай функція у = f(x) неперервна на відрізку [а; b] і на його кінцях набуває різних значень. Позначимо і . Тоді при будь-якому С: А < C < B знайдеться точка с із [a, b], така що f(с) = С.

Теорема 3 (Вейєрштрасса). Якщо функція у = f(x) визначена і неперервна на деякому відрізку [а, b], то вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Функція у = f(x), неперервна на відрізку [а, b], досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення.

Теорема 5 (Кантора). Якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], то вона рівномірно неперервна на ньому.

ЗАВДАННЯ: законспектувати питання плану, перевірити знання за допомогою тестових питань. Виконати контрольні завдання.

Тестові питання:

1 Функція називається неперервною в точці , якщо

А) існує в точці , а не існує;

Б) і існують, але ;

В) і існують, причому ;

Г) і існують, причому .

2 Функція в точці має усувний розрив, якщо

А) і при цьому не існує або ;

Б) і мають скінченні значення, але ;

В) Не існує скінченної границі або ;

Г) Хоча б одна з односторонніх границь або взагалі не існує.

3 Функція в точці має скінченний стрибок, якщо

А) і при цьому не існує або ;

Б) Існують скінченні границі та , але ;

В) Не існує скінченної границі або ;

Г) Хоча б одна з односторонніх границь або взагалі не існує.

4 Функція в точці має нескінченний стрибок, якщо

А) і при цьому не існує або ;

Б) Існують скінченні границі та , але ;

В) Обидві односторонні границі та нескінченні або одна з них нескінченна, а друга – скінченна;

Г) Хоча б одна з односторонніх границь чи взагалі не існує.

5 Функція в точці має розрив другого роду, якщо

А) і при цьому не існує або ;

Б) Існують скінченні границі та , але ;

В) Хоча б одна з односторонніх границь чи нескінченна або взагалі не існує;

Г) Жоден з наведених варіантів.