Контрольні питання:

1. Що називають границею функції в точці?

2. Який геометричний зміст границі функції в точці?

3. Які основні теореми про границі функцій?

4. Записати першу визначну границю

5. Записати другу визначну границю.

6. Які існують типи невизначеностей?

7. Яку функцію називають нескінченно малою, а яку – нескінченно великою? Який зв’язок між ними?

8. Як порівнюють нескінченно малі функції?

9. Які нескінченно малі функції називають еквівалентними?

Контрольні завдання

ВАРІАНТ № 1

Знайти границі функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

ВАРІАНТ № 2

Знайти границі функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

ВАРІАНТ № 3

Знайти границі функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

ВАРІАНТ № 4

Знайти границі функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

ВАРІАНТ № 5

Знайти границі функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

ВАРІАНТ № 6

Знайти границі функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.

Самостійна робота № 9 (4 год.)

ТЕМА: Неперервність функції

МЕТА: знати поняття неперервності функції в точці і на проміжку, властивості неперервних функцій, класифікацію розривів функції, вміти досліджувати функції на неперервність в точці і на проміжку, знаходити границі функції в точці і на нескінченності.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 191-195.

2. Валєєв К.Г. Вища математика: Навч. посіб.: У 2 ч. Ч. 1 / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова; Київ. нац. екон. ун-т. - К., 2001. - 546 с. – С. 346-361.

3. Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 254-262.

ПЛАН

1. Неперервнісь функції в точці і на проміжку.

2. Класифікація точок розриву функції.

3. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Зміст теоретичного матеріалу

1. Неперервнісь функції в точці і на проміжку.

Означення (Коші). Функція у = f(x) називається неперервною в точці х₀ функцією, якщо ця функція f визначена в точці х₀ і для кожного (достатньо малого) числа існує число , таке що при виконується або f(x) — неперервна в точці х₀, якщо .

Відношення можна переписати у вигляді

Графічна ілюстрація

Рис. 1

Пояснення. Функція y = f(x) — неперервна в точці х₀, якщо при будь-якому х з інтервалу значення f(x) лежать у смузі .

Дамо означення неперервності функції, еквівалентні означенню Коші

Означення. Функція y = f(x) називається неперервною в точці х₀, якщо

1. f(x) визначена в точці х₀;

2. границя зліва в точці х₀ дорівнює границі справа в цій точці і дорівнює значенню в ній функції (рис. 2):

.

Рис. 2

Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х₀, якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Приклад. Довести за означенням, що функції y = x² і y = sin x неперервні в будь-якій точці х₀  R.

Доведення

1. Надамо аргументу х₀  R приросту х, тоді .

Якщо х — нескінченно мала величина, то у — також нескінченно мала величина, оскільки коли х  0, то і у  0. Отже, y = x²— неперервна функція при будь-якому х₀  R.

2 Надамо аргументу х₀  R приросту х:

Якщо х  0, то у  0. Отже, функція y = sin x неперервна функція при будь-якому х₀  R.

Означення. Функція у = f(x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Означення. Функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.

Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х₀ справа (зліва), якщо

Теорема 1. Усі елементарні функції неперервні на інтервалах визначеності.

Теорема 2. Нехай функції у = f(x) i y = g(x) — неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:

1) f(x)  g(x); 3) const g(x);

2) f(x) g(x); 4) f(x) / g(x), g(x)  0.

Теорема 3. Якщо функція у = f(x) неперервна в будь-якій точці х₀ і u = F(y) неперервна в точці f(x₀), то їх композиція f о F — cкладена функція і u = F(f(x)) — неперервна в точці х₀.

2. Класифікація точок розриву функції.

Означення. Функція у = f(x), яка не є неперервною в точці х₀, називається розривною в цій точці.