2. Частотный критерий устойчивости

При исследовании устойчивости системы частотным методом используется частотный критерий устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам системы. Для этой цели строятся асимптотические логарифмические характеристики разомкнутой системы. Исходным для построений является выражение (1.34) передаточной функции разомкнутой системы.

При построении асимптотической логарифмической амплитудной характеристики на основе (1.34) определяются частоты сопряжения характеристики:

;

; (2.1)

.

И ордината единичной частоты L(1)=20lgk_с=20lg3.2=10.10.

По полученным точкам строится ЛАХ.

Порядок построения ЛАХ следующий.

Система статическая, коэффициент астатизма равен нулю, следовательно, низкочастотный участок ЛАХ параллельна оси абсцисс [1].

При прохождении слева направо каждой из частот сопряжения характеристика испытывает приращение наклона. Теплообменник – инерционной звено, наклон на частоте сопряжения ω₁=0,002 увеличивается на -20дБ/дек, равен -20дБ/дек. Датчик - инерционной звено, наклон на частоте сопряжения ω₂=0,017 увеличивается на -20дБ/дек, равен -40дБ/дек. Резервуар - инерционной звено, наклон на частоте сопряжения ω₃=25 увеличивается на -20дБ/дек, равен -60дБ/дек. Т. к. в системе имеется две частоты сопряжения меньших единицы, то точка L(1) при ω=1 не будет лежать на результирующей ЛАХ.

По ЛАХ определяем частоту среза системы ω_с=0.008. (КП.2068.998-26-04-00.00.000.Д).

Для построения логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ) находится выражение фазового угла (в системе три инерционных звена и одно усилительное)[1]:

(2.2)

Для построения логарифмической фазовой характеристики ЛФХ целесообразно произвести расчет точек зависимости φ(ω):

ЛАХ и ЛФХ строятся на одном чертеже в логарифмическом масштабе (КП.2068.998-26-04-00.00.000.Д). График ЛФХ располагается под графиком ЛАХ таким образом, что бы угол фазового сдвига –π совпадал с уровнем 0дБ.

По графику ЛФХ определяется точка частоты фазового угла ω_π=0.75.

Частота среза меньше частоты фазового угла (ω_с< ω_π), следовательно, по частотному критерию устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам, система устойчива.

2. Приведение системы к устойчивости

Система статическая, т.к. коэффициент астатизма равен нулю, значит, в системе будет статистическая ошибка. Что бы избежать этого, необходимо в систему поставить регулятор. Целесообразно поставить пропорционально – интегральный - дифференциальный регулятор (ПИД - регулятор).

Передаточная функция ПИД – регулятора[2]:

(2.3)

где: T₁²=k_д/k_и – первая постоянная времени регулятора,

Т₂= k_п/k_и – вторая постоянная времени регулятора,

k_п - коэффициент усиления пропорционального канала регулятора,

k_и - коэффициент усиления интегрального канала регулятора.

k_д - коэффициент усиления дифференциального канала регулятора.

Система становится астатической и статистическая ошибка с ПИД – регулятором равна нулю.

ПИД – регулятор обладает свойствами форсирующего звена второго порядка. При управлении от ПИД – регулятора колебательным объектом второго порядка регулятор может компенсировать колебательные свойства объекта управления и обеспечить плавные апериодические процессы в системе.

Постоянная времени регулятора необходимо взять такими, что бы регулятор компенсировал инерционность теплообменника и датчика, так как у них наибольшая постоянная времени:

откуда Т₁=155.11, Т₂=461.

Передаточная функция ПИД – регулятора:

(2.4)

Передаточная функция системы с регулятором:

(2.5)

Логарифмические характеристики с регулятором (ЛАХʹ) на чертеже (КП.2068.998-26-04-00.00.000.Д). Коэффициент регулятора равен 1.

Частоты сопряжения характеристики:

. (2.6)

И ордината единичной частоты L(1)=20lgk_с=20lg3.2=10.10.

При ω=1 проводится ордината, и на ней откладывается L(1), затем через полученную точку проводится прямая с наклонном -20дБ/дек. Резервуар - инерционной звено, наклон на частоте сопряжения ω₃=25 увеличивается на -20дБ/дек, равен -40дБ/дек.

По ЛАХʹ определяем частоту среза системы ωʹ_с=3.16.

Для построения ЛФХ с регулятором (ЛФХʹ) находится выражение фазового угла:

(2.7)

Расчет точек зависимости φ(ω) для ЛФХʹ:

Частота фазового угла стремится к бесконечности ωʹ_π→∞.

Частота среза меньше частоты фазового угла (ωʹ_с<ωʹ_π), следовательно, по частотному критерию устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам, система устойчива.

Целесообразно увеличить коэффициент системы, увеличив коэффициент регулятора. Для этого необходимо график ЛАХʹ поднять вверх и построить ЛАХʹʹ с новым коэффициентом системы (КП.2068.998-26-05-00-00-000-Д).

Примем L(1)=20lgk_с=25. Через полученную точку проводится прямая с наклонном -20дБ/дек. Наклон на частоте сопряжения ω₃=25 увеличивается на -20дБ/дек, равен -40дБ/дек.

Коэффициент системы равен: k_с==17.7.

Коэффициент регулятора: k_и= k_ис/ k_с, где k_ис- коэффициент усиления при k_и=1.

k_и=3.2/17.7=0.181, k_п=Т₂∙k_и=461∙0.181=83 [2], k_д=Т₁²∙ k_и= 155²∙0.181=4348[2]

Передаточная функция системы с регулятором:

По ЛАХʹʹ определяем частоту среза системы ωʹʹ_с=15.8.