2.5. Плоская произвольная система сил

Плоская система сил называется произвольной, если линии действия сил не пересекаются в одной точке (рис. 9, а).

Рис. 9: а) схема плоской произвольной системы сил;

b) схема для определения момента силы относительно центра О;

с) схема для определения направления вектора момента сил

В общем случае плоская произвольная система сил не приводится к одной равнодействующей, так как такая система сил вызывает два движения тела: поступательное и вращательное. Поступательное перемещение тела - следствие действия на него результирующей силы, а вращательное - момента сил. Таким образом, для полной характеристики плоской произвольной системы сил необходимо ввести понятие "момент силы". Момент силы определяется относительно точки или оси.

Вращательный эффект силы относительно точки (рис. 9, b) характеризуется её моментом с такой математической записью . Левая часть этой записи читается так: момент (m) силы относительно точки О (моментной точки О). Знак плюс (+) берется тогда, когда поворот тела под действием приложенной силы относительно моментной точки направлен против хода часовой стрелки, а знак минус (-), - когда поворот тела под действием приложенной силы относительно моментной точки О направлен по ходу часовой стрелки (рис. 9, b). h - плечо силы - кратчайшее расстояние от моментной точки до линии действия силы. Размерность момента силы .

Из рис. 9, b имеем алгебраические записи моментов сил и относительно моментной точки О. и . Здесь и - плечи сил и .

Алгебраическим моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на плечо силы относительно точки, взятое со знаком (+) или (-).

Момент силы относительно точки О можно представить в виде вектора , который равен (рис. 9, c). Здесь - радиус-вектор, проведенный из моментной точки O в точку A – точку приложения силы (рис. 9, c). Модуль векторного момента определяется из векторного произведения двух векторов.

₍₆₎

Вектор плоскости П (рис. 9, с). Направление вектора определяется по правилу векторного произведения. Он направлен так, что если смотреть с его конца (острия), то вектор должен быть направлен против хода часовой стрелки (см. рис. 9, c). Если , то . Если , то .

Момент силы относительно точки не изменится при переносе точки приложения силы вдоль линии её действия. Момент силы относительно точки равен нулю тогда, когда линия действия силы проходит через эту точку (центр).

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов системы сил относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, была равна нулю и сумма проекций всех этих сил на каждую из двух координатных осей также должна равняться нулю.

2.6. Общие законы трения

Опыт показывает, что при стремлении двигать одно тело по поверхности другого в плоскости их соприкосновения возникает сила сопротивления их относительному скольжению, называемая силой трения скольжения. Сопротивление перемещению создается шероховатостью поверхностей и наличием трения между ними.

Рис. 10: а) схема к анализу силы трения; b) расположение линии действия результирующей активных сил относительно конуса трения с) схема качения тела по деформируемой поверхности

В инженерных расчетах обычно используют общие закономерности трения, установленные опытным путем. Если на тело (рис. 10, а), лежащее на шероховатой поверхности, действует сила , то, в момент между покоем и движением тела, имеем (рис. 10, а).

; (7)

(8)

Здесь - сила трения; - сила тяжести, действующая на тело; - нормальная реакция поверхности.

По мере увеличения силы тело из состояния покоя перейдет в состояние движения. Максимальное значение силы , при которой тело начнет перемещаться, называется предельной силой трения или просто силой трения. Эксперимент показывает строгую пропорциональность в изменении и :

(9)

Постоянную величину отношения или назвали коэффициентом трения. Из соотношения (9) следует - математическое выражение закона трения скольжения. Величина силы трения в довольно широких пределах не зависит от размеров соприкасающихся поверхностей. До начала скольжения . Когда же тело начинает двигаться, то . В качестве примера приведем несколько значений коэффициентов трения скольжения:

сталь по почве ......................... = 0,25....0,90

дерево по дереву............................ = 0,50....0,65

сталь по стали.................... = 0,15....0,25

сталь по льду............................... = 0,03.

Если тело, лежащее на поверхности, перемещать в различных направлениях, фиксируя при этом углы трения, то результирующая реакция поверхности образует в пространстве конус, который называется конусом трения (рис. 10, b).

1) если результирующая активных сил проходит по образующей конуса трения, то тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно (рис. 10, b);

2) если результирующая активных сил проходит внутри конуса трения, то тело покоится;

3) когда вектор выходит за пределы конуса трения, то тело движется ускоренно.

Таким образом, если коэффициент трения скольжения известен заранее, то, нарисовав конус трения, мы можем судить о поведении тела по расположению вектора результирующей активных сил.

Пара сил (рис. 10, с) будет вращать каток при любом , но в реальных условиях при качении оба тела деформируются и касание их происходит не в точке А, а вдоль некоторой площадки АВ (рис. 10, c).

Под действием силы интенсивность давления катка возрастает от точки А до точки В. В результате реакция оказывается смещенной в сторону действия силы . С увеличением смещение растет до некоторой предельной величины.

Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать две уравновешивающие друг друга пары сил: пара и на плече и пара и на плече , которое называется коэффициентом сопротивления качению и измеряется в сантиметрах. Поскольку , то отсюда

. (10)

Это и есть математическое выражение закона сопротивления качению. Экспериментальные значения . При движении пневматической шины по: дороге - 0,04 м; стерне - 0,10 м; посеву - 0,13 м; пахоте - 0,15 м. Дерево по дереву - 0,06 м; сталь по стали - 0,005 м.

Таким образом, коэффициент сопротивления качению значительно меньше коэффициента сопротивления скольжению , поэтому в технике, где это возможно, стремятся заменить трение скольжения трением качения.