1.7. Кристалографиялық индицирлеу әдісі. Бүтін сандар заңы.

Кристалдық тор қарапайым ұяшықтың алты параметрлерімен: қабырғаларының ұзындығы және бұрыштарымен сипатталады. Кристалдық құрылым мен көпжақтыларды сипаттау үшін кристаллографиялық индицирлеу әдісін қолданады. Ол координаталардың барлық кристаллографиялық жүйелері үшін ыңғайлы. Осы әдісті қарастырып көрейік.

Түйіндердің символы. Егер тордың бір түйінін координаталар басы деп таңдап алсақ, онда тордың кез-келген басқа түйіні мына түрде анықталады:

(1.1)

Мұндағы m,n,p – үш сан, берілген түйіннің индексі деп аталады. Екі жақша [[mnp]] түрінде жазылған m,n,p сандарының жиынтығы түйін символы деп аталады. Символдағы сандар үтірсіз, бірінен соң бірі жазылады, оқылғанда жеке-жеке айтылып кетеді. Минус таңбасы санның үстіне қойылады.

Бағыт пен қатар (қабырға) символдары. Тордағы қатар мен түйін сызығы, онымен қоса кристалдық көпжақтардың қабырғалары таңдалып алынған координата жүйесінде еңкеюмен сипатталады. Егер қатар координата басы арқылы өтпесе, онда біз оны әрқашан паралельді түрде өткізе аламыз, өйткені кристалдағы барлық параллель бағыттар бірдей. Онда қатардың бағыты екі нүкте арқылы анықталады: координаталар басы және қатардың кез-келген түйіні. Бұл түйін символы қатар символының орнына алынып, квадрат жақша [mnp] түрінде жазылады. Бұл символ параллель қатарлардың тұқымдасын сипаттайды.

Параллель қабырға арқылы қиылысатын кристалл қырлары белдеу немесе зонаны құрады, ал осы қабырғалардың жалпы бағыты зона өсі деп аталады.

Айқындық үшін қатар символы орнына координаталар басына жақын орналасқан түйін таңдалынады. Егер символдағы индекстер қалдықсыз болса онда оларды қысқартуға болады.

Жазықтық (қырлар) символдары. Қандай да бір жазықтық ma, nb, pc кесінділерінің үш кристаллографиялық өстерін қиып өтсін делік. m:n:p қатынасы жазықтықтың координата осіне қарай иілуін сипаттайды. Параллель жазықтығының барлық тұқымдастарының орналасуы осындай қатынаспен анықталады. Барлық параллель жазықтық үшін рационалды сандар m:n:p қатынасының сериясын Вейсс парметрлері деп аталатын, бүтін қарапайым бөлшектердің өзара p:q:r қатынасы түрінде қарастыруға болады. Кристаллографияда жазықтарды параметрлермен емес Миллер индексімен сипаттайды. Миллер индексі бүтін сандарға келтірілген және Вейсс параметрлеріне кері шама. Егер жазықтықтардың параметрлері p, q, r болса, онда Миллер индексі мына қатынас арқылы анықталады:

(1.2)

h, k, l - сандары жазықтық индекстері деп аталады. Индекстер бірінен соң бірі жақшаның ішіне (hkl) жазылады. (hkl) символдары барлық параллель жазықтардың жиынтығын сипаттайды (11-суретті қара).

Координата өстерінің символдары өстер арасындағы бұрыштарға тәуелсіз әрқашан: XOY =(001), XOZ = (010), YOZ = (100) болады.

Индекстер және символдар арқылы кристалдардың қырлары мен қабырғаларын сипаттау әдістері бұрын, қристалдың торлы құрылымы тәжірибе жүзінде дәлелденбей тұрып, қалыптасқан болатын. Ол кристаллографияның эмпирикалық заңы – бүтін сандар заңына негізделген.

Бүтін сандар заңы. Заңды 1819 жылы Гаюи ашты. Координаталар өсіне кристалдық көпжақтының үш параллель емес қабырғалар бағытын таңдап аламыз, ал осы өстер бойынша өлшем бірліктеріне (параметрлерге) – бірлік ретінде қабылданған, оған кристалдың қандай да бір қабырғасы арқылы өтетін кесіндіні аламыз. Бірлік қабырға ОА, ОВ,ОС кесінділерін координата осьтерінде басып өтеді деп есептейік. Бүтін сандар заңы мынаны тұжырымдайды: нақты кристалдың кез-келген екі қыры үшін параметрлерінің екілік қатынасы бүтін сандар қатынасына тең болады, яғни .

ОА*/OA = OB*/OB = OC*/OC = p:q:r (1.3)

Мұндағы p, q, r – бүтін, қарапайым сандар және нақты кристалдар үшін оның шамасы төмен, 5-тен артылмайды. А*В*С* жазықтығы кристалл қыры бола алады егер, координата осьтерінде оларды басып өтетін ОА*, ОВ*, ОС* және ОА, ОВ, ОС бірлік кесінділері (1.2) қатынасының кесінділерін сәйкес болса. Нақты кристалдарда (1.3) қатынасы иррационал болатын қырлар мүмкін болмайды

1.13-сурет. Кубты кристалдағы маңызды жазықтар үшін Миллер индексі

Кез-келген кристаллографиялық жазықтықтың Миллер индексін табу үшін ең алдымен координаталар басын таңдап алу керек, сосын координаталар өсінде, а, b, c, өсті кесінділері арқылы өтетін жазықтықпен кесетін кесінділерін көрсету керек, одан ары осы шамалардың кері мәндерін тауып, жалпыға бірдей алымы бар, мүмкін болатын ең кіші рационалды бөлшек түріне келтіру керек, және соңында жалпыға бірдей алымын шығарып тастап, алынған үш санды жақшаға алу керек.

Миллер индексін анықтайтын бірнеше мысалдарды қарастырайық.

1. Координата өсінде 4a, 3b, 2c қиындыларын қиып өтетін жазықтық символдарын табу керек. m:n:p = 4:3:2 қатынасын жазамыз:

Яғни, жазықтық символы (hkl)=(346).

2. X және Z остеріне параллель және Y осінде үш бірлікке қиылысатын Миллер индексін табу керек

m:n:p= болсын

Осыдан

яғни (hkl)=(010)

Координаталар өсін және жеке қырларын таңдау үшін қондырғылардың шартты халықаралық ережелері (№1 зертханалық жұмысын қара) бар. Рентгендіқұрылымды талдау арқылы қарапайым ұяшықтардың құрылымын, пішінін және параметрлерін, сәйкесінше рентгенограмма және олардың проекциясы арқылы жазықтық символдары мен бағыттарын анықтауға болады. Кристалдық көпжақтылардың қабырғалары мен қырларын да кристаллографиялық проекция арқылы анықтау ыңғайлы (№1 зертханалық жұмысты қара).