7.3. Кубты кристалдар үшін серпімді тұрақтыларды есептеу

7.2-сурет. Жақын көршілерімен орталықтандырылған әсерлесуі бар ионды кристалдың моделі

Құрылымы NaCl түрінде болатын ионды кубты кристалл жағдайын қарастырайық. Кристалдың деформациясы кезінде оның потенциалды энергиясы өзгереді, оны есептеу үшін атомдардың қалай қозғалатындығын білу керек. Мына түрде ойлайық:

- көрші атомдар арасында тек орталықтандырылған, яғни екі атомды біріктіретін сызық бойына күш түсіріледі, мұндай күштің табиғаты — кулондық күш.

- әр атомның өзіне жақын орналасқан және екінші жақын орналасқан көршілерімен әсерлесуін ескереміз (7.2-сурет).

-кез келген атом жұбы серіппемен байланысқан делік. Барлық Na және С1 атомдары арасындағы серіппелер қатаңдылығы к₁ бірдей болуы керек. Екі Na және екі С1 атомдары арасындағы серіппелердің қатаңдығы түрлі болуы мүмкін, бірақ жеңілдік үшін олардың қатаңдығы бірдей және к₂ тең деп аламыз.

7.2-суретте кристалдың базалық жазықтығының бірін көруге болады. Кристалда біртекті деформация . бар делік. Жалпы жағдайда деформацияның барлық компоненттер бар, бірақ үш компоненті бар деформацияны қарастырамыз. Координаталар басы ретінде бір атомды таңдап аламыз, сонда x,y жазықтығында басқа атомдардың қозғалысы мына теңдеулермен беріледі:

(7.11)

1 номерімен натрий атомын белгілейміз, оның координатасы (0,0), горизонталь және вертикаль бойынша арақашықтықтын а деп белгілейміз. x,y жазықтығында орналасқан атомдардың серпімді байланыстарының деформациясы кезінде жинақталған энергия:

(7.12)

Бірақ, біз тек ху жазықтығынан тыс серіппелі-диагоналды көршілердің х және у компоненттерінің деформациясын қарастырамыз. Мұндай көршілер саны сегіз. Энергияға беретін үлесі:

(7.13)

Қорытқы энергия бір атоммен байланысты энергияның еселенуіне және бірлік көлемде атом болғандықтан, серпімді энергияның тығыздығы мына түрде есептелінеді:

(7.14)

Серпімді энергия тығыздығы серпімді тұрақтылармен байланысты. тензордың компоненттерін табу үшін сәйкес комбинацияларда деформация дәрежелерін (7.8) сәйкес мәндерінің қосындысы ретінде салыстыруға болады. Осылайша біз мынаны аламыз:

(7.15)

(7.16)

(7.17)

Барлық басқа тұрақтылар кубты кристалдарда нөлге тең. Алынған орталықтанған күш арқылы болатын атомдар арасындағы байланыс моделі үшін серпімді тұрақтылар теңдеуі орындалу керек:

(7.18)

Бұл теңдеу Коши қатынасы деп аталады. Бұл қатынастар сілтілі-голоидты кристалдар, сілтілі металдар үшін жақсы орындалады, дегенімен ковалентті кристалдар мен металдар үшін Коши қатынасы орындалмайды, ол дегеніміз серпімді күштердің орталықтанбағанын білдіреді.

7.4. Кубты кристалдардағы серпімді толқындар

Кристалл ішіндегі куб пішінді элементар көлемге кернеу әсер етсін делік (7.3-сурет). x қарана әсер ететін кернеу - тең болсын. Сонда параллель қырына мынандай кернеу әсер етеді:

7.3-сурет. Элементар көлемдегі кернеу мен күш

Элементар көлемдегі x өсі бойына әсер ететін соңғы күш мынаған тең:

(7.19)

Дегенімен, F₁ күшіне у және z өсі бойына әсер ететін кернеудің үлесін ескеру қажет Нәтижесінде (19) мына түрде болады:

(7.20)

(10.20)-ға сәйкес F₂ және F₃ күштерінің компонеттерін де жазуға болады. Басқа жағынан қарағанда, элементар көлем үшін күштің қосындысы осы көлемнің үдеуі мен массасының туындысына тең:

(7.21)

мұнда — кристалл тығыздығы. (7.20) мен (7.21) қоя отырып, F₂ және F₃, компоненттерін ескере отырып, қатты денедегі бөлшектің қозғалысының теңдеуін жазуға болады:

(7.22)

Гук заңын және деформация тензорының анықтамасын қолдана отырып осы теңдеуді мына түрде жазуға болады:

(7.23)

Соңғы қатынас үш дифференциалды толқындық теңдеу жүйесін көрсетеді, оның шешімін жазық толқындар түрінде іздестіреміз:

(7.24)

мұда n_p – бағыты толқындық вектормен сәйкес келетін толқындық нормальдің бірлік веторы. (7.24) шешімдерін (7.23) орнына қою арқылы мынаны аламыз:

(7.25)

Соңғы қатынас Кристофель теңдеуі деп аталады, ол u_l белгісізіне қатысты үш біртекті алгебралық теңдеулерден тұратын жүйе түрінде кездеседі. Кристоффель теңдеуі еркін симметриялы кристалдардағы серпімді толқындардың үлестірілуін зерттеу үшін қажет болып табылады. (7.25) жүйенің шешімі егер оның анықтағышы нөлге тең болса тривиальді емес болады,:

(7.26)

Осы қатынас сипаттамалық кубты теңдеу болып табылады, оның серпімді толқындардың жылдамдықтары мен серпімді тұрақтылары арасындағы өзара байланысты анықтайтын түбірі – 3 өзіндік мәні бар.

Осылайша [110] бағыты бойынша толқындардың шашырауын қарастыратын болсақ, онда бір біріне тәуелсіз үш серпімді толқындар шашырайды, бірі қума L ал екеуі көлденең S₁ және S_2, жылжымалы толқындар, барлық үш толқынның жылдамдығы түрліше болады және серпімді тұрақтылардың комбинацияларымен беріледі (6-кесте).

6-кесте. Кубты кристалдардағы [110] бағыты бойынша серпімді толқындары

Ығысудың бағыты (поляризациясы)	Толқынның типі	Жылдамдығы
[001]	S1
[1 0]	S2
[110]	L

Кестеде көрсетіліп отырғандай, берілген бағыт бойыша серпімді толқын жылдамдығын өлшей отырып, кубты кристалдың барлық үш серпімді тұрақтысын анықтау үшін үш тәуелсіз теңдеуді аламыз. Басқа бағыттар үшін осыған ұқсас нәтижелер болады:

1. үш тәуелсіз, жылдамдықтары түрлі болатын серпімді толқын шашырайды.

2. осы толқындарға сәйкес келетін серпімді ығысу ортогональді үштік векторын құрады.

Еркін симметриялы кристалдар үшін осындай кестелерді алуға болады және нақты бір бағыт бойынша түрлі дыбыстық толқындарды өлшей отырып серпімді модульдердің тензорларының барлық компоненттерін есептеуге болады.

Серпімді тұрақтыларды анықтау әдістерінің көптеген түрлері бар, дегенмен олардың барлығын үлкен екі топқа бөлуге болады: резонансты және импульсті. Бірінші жағдайда өлшемі белгілі нақты бір пішіндегі үлгі резонатор секілді болады және онда мәжбүрленген күш жиілігі өзіндік резонанс жиілігімен сәйкестендірілгенде максимальді амплитудаға жететін серпімді тербелістер қозады. Резонансты жиілік мәні серпімді тұрақтыларды есептеу үшін қолданылады. Дегенімен дыбыстық толқынның өшуі мен жылдамдығын өлшеудің импульстық әдісі кең таралған. Мұндай әдістердің принципі зерттеп отырған үлгіде ультрадыбыстық импульстің шашырау уақытын өлшеуге негізделген. Қысқа уақытты және үлкен амплитудасы бар импульстер сериясы генератордан пьезоэлектрикті түрлендіргішке беріледі. Қысқа уақытты импульстердің жоғары жиілікті гормоникасы бар күрделі спектрі болады. Акустикалық толқындардың генерациясы үшін пьезоэлектрикті эффектілерге ие кварц кристалынан қиылып жасалған пластинкалар — пьезоэлектрикті түрлендіргіштер қолданылады. Мұндай кристалдарда анық бір бағыт бойынша айнымалы электр өрісін қою қандай да бір динамикалық диформацияны тудырады. Синхронизацияланатын генератор шашыратқыш импульстер арасындағы уақыт интервалын өлшейді. Серпімді толқын жылдамдығы үлгінің ұзындығы белгілі болғанда мына теңдеу арқылы анықталады:

(7.27)