5.3. Кристалдық тордағы атомдардың тербелісі

Фонондардың дисперсиялы тәуелділігі деп аталатын фонон жиілігінің толқындық векторға тәуелдігін тұрғызудың қарапайым теориялық жағдайын қарастырайық. Жалпы жағдайда бұл мәселе өте қиын және тәртіп бойынша сандық әдістермен есептеледі.

Біратомды ұяшық. Оңай болу үшін кубтық кристалдың бір атомды базистен тұратын а периодты примитивті қарапайым ұяшықты қарастырайық. Бұл кристалда [100] бағытын және осы бағыт бойымен таралатын жазық қума толқынды (көлденең толқын жағдайы да осылайша қарастырылады) қарастырайық (5.4-сурет).

5.4-сурет - [100] бағыты бойымен таралатын қума жазық толқындағы біратомдық кубтық тордың атомдарының тербелісі

Бұл жағдайда s номерлі бір жазықтықта орналасқан (100) атомдар осы жазықтыққа нормаль бойымен ([100] бойымен), осы жазықтыққа бірдей фазамен u_s шамасына ығысатын болады, яғни атомдардың барлық жазықтығы бір тұтас тербелетін болады. Бұл жазықтықтағы s номерлі таңдап алынған атомға басқа күшпен нөмерлі жазықтық әсер ететін болады. Аз ғана u_s ығысу жағдайында бұл күш олардың тепе теңдік жағдайында әсерлесуші жазықтықтардың ығысу айырымына пропорционал деп болжауға болады. Қорытынды күші күштердің қосындысы болып табылады:

(5.5)

s номерлі жазықтықта орналасқан M массалы атом үшін Ньютонның екінші заңын жазамыз:

(5.6)

Жазық қума толқын үшін u _s функциясын табайық:

(5.7)

(5.7) теңдеуін (5.6) теңдеуіне қойып және жалпы көбейтінділерді қысқарта отырып үшін мына теңдеуді аламыз:

(5.8)

Қарастырылып отырған тордың симметриясын және қатынасын есепке ала отырып мына теңдеуді аламыз:

(5.9)

Көбінесе берілген атомға тек қана жақын орналасқан жазықтықпен байланысын қарастырумен шектеледі. Онда , және үшін теңдеу жеңілдетіледі:

(5.10)

тәуелділік графигі 5.5-суретінде кескінделген. Көрініп тұрғандай бірінші Бриллюэн зонасының шекарасына сәйкес келетін нүктесінде K бойынша туындысы нөлге тең, бұл фононның топтық жылдамдығының нөлге тең екендігіне сәйкес келеді.

5.5-cурет - Примитивті кубты тордағы [100] бағыты бойынша жайылатын қума жазық толқын жағдайы үшін толқындық вектордың К жиілікке тәуелділігі

Таңдап алынған атомның бірнеше атомдық жазықтықтармен әсерлесуін ескере отырып, дәл осындай тәуелділігі үшін ерекшелік (5.9)- дан да шығады. (5.7) қатынасына сәйкес жағдайында көрші атомдар қарама-қарсы фазада қозғалады, бұл атом орналасқан жерлерінде ұшқынды тұрғын толқынға сәйкес келеді. Бұл кездегі тұрғын толқынның пайда болуы әрбір атомның шағылған толқынына және шағылған толқынның интерференциялық күшеюімен байланысты. Шын мәнінде, а қашықтықта орналасқан, атомдардан шағылған толқындардың күшею шарты (5.5-сурет) мынадай түрге енеді

(n=1), мұндағы .

Фонондар үш өлшемді торда атомдық жазықтықтан рентген сәулесіне ұқсас шағылуға қабілетті; бұл жағдайда интерференцияның күшею шарты Вульф-Брегг теңдеуінің түріне келеді. Бұл фононның толқындық векторының Бриллюэн зонасының шекарасына түсу шартына ұқсас.

Егер K шамасына кері тордың векторына тең шамасын қосып немесе алатын болсақ (5.7) теңдеуіндегі толқындағы атомдардың тербелісінің сипаттамасында атомдардың қозғалыс заңы бірдей болып табылады. Сондықтан біздің қарапайым жағдайда атомдардың қозғалысын сипаттау үшін шартын қанағаттандыратын K мәнін қолдану жеткілікті. Үшөлшемді жағдайда бұл шартты бірінші Бриллюэн зонасының ішінде жататын K мәні қанағаттандырады.

Ұяшықтағы екі атомдық базистен тұратын атомдардың қозғалысы. Кубтық кристалды қарастыруды оңайлату үшін екі атомды базистен және а периоды бар примитивті элементар ұяшықты қарастырайық (5.6-сурет). Атомдар М₁ және М₂ массаға ие болсын.

Бұл кристалда осы бағыт бойымен таралатын [100] бағытын және жазық қума (көлденең толқын жағдайы да осылай қарастырылады) толқынды қарастырайық. Бұл жағдайда 5.6-суретте қарамен көрсетілген s номерлі (100) бір жазықтықта орналасқан М₁ массалы атом осы жазықтыққа нормал бойымен бір фазада u_s шамасына ығысады, яғни атомдардың бүкіл жазықтығы тұтас ретінде тербелетін болады. Сәйкесінше (5.6-сурет) s номерлі бір жазықтықта орналасқан М₂ массалы ашық түсті атомдар осы жазықтыққа [100] нормаль бойымен бірдей фазада шамасына ығысатын болады, яғни атомдардың бүкіл жазықтығы тұтас ретінде тербелетін болады. Қосымша өте маңызды жеңілдету ендірейік: s номерлі жазықтықта таңдап алынған бір атомға екі жақын орналасқан жазықтықтағы атомдар ғана әсер етеді деп есептейік.

5.6-сурет - [100] бағыты бойынша таралатын қума жазық толқындағы екі атомнан тұратын базисті кубтық тордағы атомдардың тербелісі.

u_s және аз ығысулар жағдайында жақын орналасқан жазықтықтағы атомдар тарапынан әсер етуші күш және (ашық түсті атомдар үшін) және олардың тепе-теңдік жағдайы үшін жақын орналасқан жазықтықтардың және (қара түсті атомдар үшін) ығысулар айырымына пропорционал.

s номерлі жазықтықтағы «қара» және «ашық» атом үшін Ньютонның екінші заңын (40- сурет) жазамыз.

(5.11)

u_s және функциясын жазық қума толқын түрінде іздейміз:

; (5.12)

(5.12) теңдеуін (5.11) -ге қоя отырып u және салыстырмалы біртекті екі сызықты теңдеулер жүйесін аламыз:

(5.13)

Егер оның анықтамасы нөлге тең болатын болса, нөлдік теңдеу пайда болады.

(5.14)

(5.14) теңдеуін мынадай түрде жазуға болады:

(5.15)

К туындысы кезінде (8.15) теңдеуінің шешімінің нәтижелері 5.7-суретте келтірілген.

5.7-сурет - [100] бағыты бойынша екі атомды базистен тұратын кубтық торда таралатын қума жазық толқындағы жиілігінің К толқындық векторына тәуелділігі.

Бұл теңдеудің аса маңызды шешімі мына жағдайларда болады: 1) К аз мәнінде және 2) мәнінің айналасында.

Аз К жағдайында мәні мынадай болады. Онда (5.15) теңдеуі екі түбірге ие болады:

(5.16)

Бірінші түбір фононның  дисперсиялық тәуелділігінің оптикалық тармағына сәйкес келеді, ал екінші түбір фононның  дисперсиялық тәуелділігінің акустикалық тармағына сәйкес келеді.

Оптикалық тармақ үшін (5.13) теңдеуден, атомдар шамамен қарама-қарсы фазада тербелетіні шығады, атап айтқанда кезінде шарты орындалады. Тербелістің мұндай түрін (5.8б-сурет) электромагниттік толқынның 1 және 2 атомдарының әр түрлі зарядтары жағдайында айнымалы электр өрісі арқылы қоздыруға болады; осыдан барып «оптикалық фонон» атауы шыққан. Айта кететін жағдай, қарастырып отырған жағдайда магнит өрісінің әсерін ескермеуге болады, себебі электродинамика заңы бойынша қозғалыс жылдамдығының аз мәні кезінде толқынның магнит өрісі зарядтарға әлсіздеу әсер етеді.

5.8 а-сурет - Көлденең толқынды атомдардың оптикалық (б) және акустикалық (а)типті жағдайындағы атомдарының ауытқуы

5.8 б-сурет - Көлденең толқынды атомдардың оптикалық (б) және акустикалық (а)типті жағдайындағы атомдарының ауытқуы

(3.13) теңдеуден акустикалық тармақ үшін атомдар шамамен бірдей фазада тербеледі, атап айтқанда кезінде шарты орындалады. Тербелістің мұндай түрін (5.8а-сурет) кристалға айнымалы серпімді әсер арқылы қоздыруға болады. Атомдар келісілген түрде шамамен бірдей фазада қозғалатын болса, онда ол ұзынтолқынды келтірілген біртекті ортада атомдардың акустикалық тербелісіне сәйкес келеді; осыдан барып «акустикалық фонон» атауы шыққан.

Көпатомды тордағы атомдардың тербелісін екі атомды сияқты схема бойынша қарастыруға болады. Бірақ та бұлай қарастыру математикалық көзқарас бойынша өте қиын (өте көп теңдеулер санын шешу қажет болады, біртекті жүйенің (3.14) анықтауышы үлкен қатарға ие болады және сол сияқты). Жоғарыда қарастырғанға ұқсас r атомнан тұратын ұяшық үшін көлденең толқын үшін де, қума толқын үшін де r түбірлі (3.14) типтес теңдеу пайда болады; олардың бір бөлігін акустикалық тармаққа, ал екінші бөлігін тәуелділігінің оптикалық тармағына жауап береді деп саналады. Барлығы тәуелділігінің үш оптикалық және акустикалық тармақтары пайда болады, ал қосындысында 3r фонондық спектрдің тармағы.