2.3. Лауэ теңдеуі. Эвальдо түзілімі

Дифракциялық сурет пен кері тор қалай байланысты болатынын қарастырайық. Рентгендік сәуленің серпімді шашырауы кезінде квант энергиясы өзгермейді:

ω = ω^/, ω = сk, ω^/ = ck^/ (2.12)

мұнда с - электромагнитті толқын жылдамдығы, толқын векторының ұзындығы өзгермейді, және нәтижесінде шашыраған толқынның толқындық векторы үшін мына теңдеу орындалады:

|k'| = |k| = (2.13)

2.5-сурет - Шағылысқан толқынның толқындық векторының өзгерісі

Дифракциялық шашырау суретінде векторлық үшбұрыштан (2.5-сурет.) ∆ векторы (hkl) жазықтығына перпендикуляр болатындығы көрсетілген, яғни бағыты жазықтыққа нормаль түсірілген бірлік векторының бағыты секілді және кері тор векторы болып табылады да мына түрде жаза аламыз:

∆ = - ^/ = 2dsin = (5.14)

(2.14) теңдеуде (hkl) жазықтығына перпендикуляр кері тор векторларының белгіленулері қабылданған:

(2.15)

Егер мәндері Вульф – Брэгг заңы орындалатындай болса, онда (5.14) мына түрде жазуға болады:

∆ = (2.16)

Осылайша, векторымен құрылған көп нүктелер Лауэнің дифракциялық тәжірибесінде көрсетілген дақтардың үлестірілуіне сәйкес келеді. Осы нүктелер арасындағы қашықтық тура тордағы жазықтықтар арасындағы арақашықтыққа кері пропорционал.

Дифракцияны бастан кешірген толқынның бастапқы және соңғы толқындық векторы үшін теңдеу:

(2.18)

Екі жағын шаршыға келтіріп мынаны аламыз:

(2.19)

(2.19) теңдеуі – тағы бір Вульф-Брэгг заңының жазбаша түрі.

Кері кеңістікте дифракциялық суреттің көрінісін Эвальдо түзілімі береді.

Эвальдо түзілімі.

2.6-сурет. Эвальдо түзілімі

2.6-суреттің оң жағындағы нүктелер – ол кристалдың кері торының түйіндері. векторының бағыты кристалға түсетін рентгендік сәуле (нейтрондар шоғы). бағытымен сәйкес келеді. векторы кері тордың еркін түйінінде аяқталады. Суретте радиусы |k| = , центрі векторының басы болатын сфера көрсетілген. Егер осы сфера кері тордың қандай да бір басқа түйінімен қиылысса және ∆ = болса, онда дифракцияланған сәуле түзіледі. Дифракцияланған сәуле векторы бағытына қарай кеңейеді.

Эвальдо түзілімі нейтрондардың дифракциясын рентгенді құрылымды талдауда кең қолданылады.

Лауэ дифракциясының теңдеуі.

Тура және кері тордың трансляция туындысы теңдеуінен мынаны аламыз:

(2.20)

Өзара ∆ векторы мен hkl үштік индекстерін және тура тордың базисті векторларын байланыстыратын осы қатынас Лауэ дифракциясының теңдеуі деп аталады.

2.4. Шашыраған (дифракцияланған) толқын амплитудасы үшін Лауэ теңдеуі

Екі шашыратқыш О және О' центрлер болсын делік (2.7-сурет), және шашыратқыш нүктелердің орны бүтін санды компоненттері бар векторлармен:

(2.21)

Мұнда m,n,p – 0 ден М ге дейінгі шегіндегі бүтін сандар. Осы жағдайда кристаллда М³ ұяшық болады.

2.7-сурет - Екі центрдегі шашырау

Шашыратқыш центрлердің бірін координаталар басы деп таңдап алайық. Оған түскен бастапқы жазық толқын осы центрлерді қоздырады және әрқайсысы қосымша сфералық толқынның көзі болып табылады. Бастапқы толқын екі центрге түрлі фазалармен келеді, сондықтан түрлі бастапқы фазалар шашыратқын толқында да болады.

О және О^/ центрлерінен шашыраған толқындардың арасындағы фазалар айырымын табамыз:

(2.22)

Егер бастапқы толқынның бірлік амплитудасы (А = 1) болса, онда О^/ орнындағы шашыратқыш центрдің беретін толқыны:

(2.23)

Коэффициент f центрдің шашыратқыш икемділігі деп аталады. шашыратқыш икемділігі бар барлық нүктелер үшін соңғы қорытынды толқынның амплитудасы:

(2.24)

F шамасы шашыратқыш амплитудасы деп аталады. (2.24) теңдеуінің сипаты алуан түрлі. Рентгенді сәуле үшін оларды шашырататын физикалық нүкте болып электрондар табылады. Егер бір электронның шашыратқыш икемділігінің мәнін бірге тең деп алсақ, онда оған қатысты шашыратқыш амплитудасы қарапайым түрге енеді:

(2.25)

Егер ∆ Лауэ дифракциясы теңдеулерін қанағаттандыратын болса, онда оларды (2.25) теңдеуіне қойып мынаны аламыз:

(2.26)

Мұнда (mh+nk+pl) қосындысы бүтін санды мәнді қабылдайды. Шашыраудың ең қарапайым жағдайы кристаллда тығыздығы орташа уақыт бойынша орналасқан электрондардағы шашырау болып табылады. нүктесінің маңында ∆V көлемде орналасқан электрондардың орташа саны арқылы орташа электронды тығыздықты анықтайық:

(2.27)

Бірқалыпты функциядағы немесе электронды тығыздықтағы шашырауды қарастыра отырып, F шашырауының амплитудасын табу үшін дискретті нүктелер бойынша сомасынан интегралдауға көшу қажет:

(2.28)

Мұнда x, y, z тура кеңістіктегі нүктенің координатасы, кері кеңістіктегі шашыратқыш векторының координаттары.

Электронды тығыздықтың үлестірілуі элементар ұяшықта орналасқан өзара байланысты атомдардың электрондарының үлестірілуімен анықталады. Әрбір ұяшықтың s атомы бар делік. j-ші атом центрінің орналасуы мына векторлармен анықталады:

(2.29)

Вектор түйінінен жүргізілген: . Бұл түйін қарастырып отырған ұяшықпен тығыз байланысты және оны mnp деп белгілейміз. Координаталар басын деп таңдап аламыз. Осы координаталар басына қатысты j-ші атомның орналасуы вектормен анықталады. Атомдағы электрондар ядроға жақын жинақталмайтындығы белгілі, олар оның жан жағында орналасады. Мына функция mnp ұяшығында j – ші атомның маңындағы нүктесіндегі электрондардың

(2.30)

концентрациясын анықтайды. Кристаллдағы электронды тығыздықтың үлестірілуін жеке атомдардың электронды тығыздықтарының суперпозициясы (5.30) ретінде қарастыруға болады. Кристаллдың толық электронды тығыздығын мына қосынды түрінде жазуға болады:

(2.31)

Мұнда бірінші қосынды базистердің барлық атомдары (j = 1,2,3,…s) бойынша жүзеге асады, ал екіншісі саны М³ –ге тең болатын, тордың барлық түйіндері арқылы жүзеге асады. ∆ шашыраудың жалпы амплитудасын мына түрде жазуға:

(2.32)

Түрлендіреміз және мына шаманы енгіземіз:

(2.33)

шашыраудың атомдық факторы, яғни j – ші атомдағы шашырау өлшемі. Сонда:

(2.34)

Бірінші қосынды М³-ке тең. ∆ шашырау векторы Лауэ дифракциясы теңдеуін қанағаттандырғандықтан, (2.34) теңдеудің маңыздысы болып дөңгелек жақшадағы екінші мүшесі – құрылымдық фактор саналады:

(2.35)

Параллель жазықтарды (hkl) жинақтау үшін құрылымдық фактор мына түрде болады:

(2.36)

Құрылымдық фактор комплексті сан бола алады. Нөлдік мәндер маңызды. h,k,l индекстерінің нақты бір мәндері үшін рефлекстердің болмауы өшу заңы деп аталады.