Теорема умножения вероятностей.

Произведением событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее в появлении обоих событий А и В. Например, пусть при бросании двух монет появление герба на первой монете - событие А, появление герба на второй монете - событие В; тогда появление гербов на обеих монетах -произведение .

Теорема: вероятность сложного события, состоящего из совпадения двух независимых простых событий, равна произведению вероятностей этих про­стых событий, т. е.

(2.12)

Доказательство. Поскольку события А и В независимы, то из т₁ случа­ев благоприятствующих событию А из п₁ возможных может совпасть с лю­бым из т₂ случаев, благоприятствующих событию В из п₂ возможных. Сле­довательно, число случаев, благоприятствующих наступлению обоих собы­тий, составляет т₁ и т₂ из п₁ и п₂ возможных. Таким образом, вероят­ность появления обоих событий можно представить:

(2.13)

что и требовалось доказать.

Распространяя эти же рассуждения на несколько независимых событий, теорему умножения вероятностей можно высказать следующим образом: ве­роятность совмещения двух или нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей, т. е.

(2.14)

Условная вероятность.

Предположим, что событие А может осуществляться m₁ раз, событие В -т₂ раз, а событие ( ) - k раз. При этом полное число исходов равно n.

Тогда

или

(2.15)

Из m₁ случаев, в которых происходило событие А, в относительной доле случаев, равной , происходило также и событие В. Таким образом, есть вероятность события В при условии, что произошло событие А. Эта вероятность записывается в виде Р (В/А) и называется условной вероят­ностью события В при условии, что произошло событие А.

Теорема: вероятность сложного события, состоящего из совпадения двух зависимых между собой событий, равна произведению вероятности одного из простых событий на условную вероятность другого в предположении, что первое событие имело место, т. е. как это следует из уравнения(2.15)

(2.16)

A B

Рис. 2.1

На языке теории множеств имеем (рис. 2.1): , следовательно, Р(АВ) Р(А).

Величина, на которую нужно умножить меру множества А, чтобы полу­чить меру заштрихованного множества А В, есть новая мера, называе­мая Р (В/А). Из уравнения (2.16) следует:

(2.17)

Уравнение (2.17) можно использовать для практического вычисления условной вероятности.

Формула полной вероятности.

Следствием теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения ве­роятностей является формула полной вероятности.

Формула полной вероятности позволяет определить вероятность события А, которое может произойти с одним из событий Н₁,Н₂,Н₃,...,Н_п, образующих полную группу событий:

(2.18)

Формула (2.18) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий H_l,H₂,H₃,...,H_n, образующих полную группу несовместимых событий, и которые мы будем называть гипотезами. Так как гипотезы Н₁, Н₂, Н₃,..., Н_п образуют пол­ную группу, следовательно событие А может произойти только в комбинации с какой-либо из указанных гипотез, т. е.

А = Н₁А + Н ₂А + Н ₃А + ... + H_nA (2.19)

Поскольку гипотезы H_l,H₂,H₃,...,H_n несовместимы, то и комбина­ции, Н_{А + Н₂А + Н₃А + ... + Н_пА - несовместимы. Применяя к ним теорему сложения вероятностей, получим:

(2.20)

Применяя к событию H_iA теорему умножения вероятностей, придем к результату:

(2.21)

что и требовалось доказать.