§6.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно первой степени относительно неизвестной функции у и ее производной . Такое уравнение имеет вид:

(10)

где P и Q – функции от х или постоянные величины. Уравнение (10) решается подстановкой

,

где u и - неизвестные функции от х, одну из которых можно выбрать произвольно.

Пример 1: решить уравнение

Решение: в этом линейном уравнении Полагаем , тогда

Подставив в данное уравнение вместо у и их выражения, получаем:

или (11)

Выше было замечено, что одна из функций (u или ) может быть выбрана произвольно. Выберем функцию так, чтобы в уравнении (11) выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. имело место равенство:

Разделив переменные и интегрируя полученное уравнение, находим

;

отсюда

;

при С=0 (12)

Подставив (12) в (11), получим:

откуда

;

тогда

Соответственно

(13)

Подставив в равенство вместо u и их найденные выражения, получаем общее решение данного линейного дифференциального уравнения:

или

§ 6.5 Дифференциальные уравнения второго порядка уравнения вида

В дифференциальное уравнение второго порядка могут входить перемен­ные х, у и производные , , причем те или иные из величин х,у, могут и отсутствовать. Простейшее уравнение второго порядка имеет вид:

(13)

Уравнения этого вида решаются двукратным интегрированием.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение

Решение: Полагаем , тогда данное уравнение перепишется в следующем виде:

, или

Интегрируя это уравнение, находим

или

Заменяем в последнем уравнении величину z ее значением:

;

Интегрируем второй раз и получаем общее решение данного уравнения:

Как видим, общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

§ 6.6 Комплексные числа и их алгебраическая форма.

Числа вида

(1)

где х и у - любые действительные числа, а i - мнимая единица, опре­деляемая равенством называются комплексными числами. Числа x и у называют соответственно действительной и мнимой частями ком­плексных чисел z и обозначаются

Запись комплексного числа в виде (1) называется алгебраической фор­мой комплексного числа.

Комплексное число z = х + iy может быть изображено в декартовой ко­ординатной плоскости хОу либо точкой с абсциссой х и ординатой у , ли­бо радиусом вектором этой точки (рис. 6.2). Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается или r :

(2)

Угол, образованный этим вектором с положительным направлением дей­ствительной оси Ох, называется аргументом числа z и обозначается Argz:

Величина Argz многозначна и определена с точностью до числа, крат­ного . Значение Argz , заключено в пределах от - до , называется главным и обозначается arg z или :

.

Два комплексных числа и считаются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Два комплексных числа z = x + iy и z=x-iy отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической фор­ме, производятся по следующим правилам:

;

;

y

y z=x+iy

r

0 x x

Рис. 6.2