Простейшие свойства определенного интеграла.

1.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4.Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

5.Отрезок интегрирования можно разбить на части:

§ 5.2 Формула ньютона-лейбница.

В теореме о производной интеграла по верхней границе доказывается, что производная от интеграла по верхней границе равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей:

Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Теорема о производной интеграла по верхней границе позволяет установить простой метод вычисления опреде­ленных интегралов, минуя суммирование и переход к пределу. Этот новый метод вычисления определенного интеграла выражается формулой Ньютона-Лейбница, вывод которой мы рассмотрим.

Функция является первообразной для непрерывной подынтегральной функции f(x). Как известно, всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от S(x) только постоянным слагаемым. По­этому, если F(x) - другая первообразная для f(x) , то S(x) = F(x) + С, или

(5)

Постоянную С легко найти, если заметить, что , как интеграл с равными границами интегрирования. Поэтому, подставляя в соот­ношение (5) х = а, получим

Отсюда С=F(a) и, следовательно,

В частности, при х=b имеем

(6)

Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она показывает, что для того, чтобы вычислить определенный интеграл, нужно найти какую-либо первооб­разную F(x) для подынтегральной функции f(x) и взять разность значе­ний этой первообразной, вычисленных для значений х, равных верхней и нижней границам интегрирования. Короче говоря, определенный интеграл равен приращению первообразной от подынтегральной функции на сегменте интегрирования.

Разность F(b)-F(a) символически обозначают :

.

Применяя этот символ, мы можем записать формулу Ньютона- Лейбница в таком виде:

(7)

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить

Решение: Одной из первообразных от подынтегральной функции является функция Поэтому, применяя формулу (6) Ньютона-Лейбница, получим

Пример 2. Вычислить .

Решение: по формуле (6) Ньютона-Лейбница

Замечание. Формула Ньютона-Лейбница была введена в предположения, что подынтегральная функция f(x) непрерывна. Для разрывных функций формула Ньютона Лейбница может не иметь места.

§5.3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

При вычислении определенного интеграла способом замены переменной мы приходим к определенному интегралу с новой переменной интегрирования t, причем старые пределы интегрирования и заменяются новыми пределами и :

Пример 1. Найти

Решение: Полагая , тогда . При х=0, ; при х=а, , . Итак, а=0, b=

Следовательно, применяя формулу замены переменной, найдем

Пример 2. Найти

Решение: положим или В данном случае а=3, b=8. При х=а=3 ; при х=b=8 . Итак, а=2, b=3. Следовательно, по формуле (7) замены переменной имеем